MΙΓΑΔΙΚΟΙ

G.Tsikaloudakis · #1

Καλή Σχολική χρονιά και δύναμη σε όλους
Για καλό ξεκίνημα παρθέτω ένα ωραίο θεμα Μιγαδικών:
Έστω
$\displaystyle{ z{\rm{ }},w }$
μγαδικοί τέοιοι ώστε: $\displaystyle{ \left| z \right| \ne 0 }$
και $\displaystyle{ w^2 - 2\left| z \right|w + 2\left| z \right|^2 = 0 }$
Να αποδείξετε ότι:
α. ο w δεν είναι πραγματικός

β. $\displaystyle{ \left| w \right|^2 = 2\left| z \right|^2 }$

γ. $\displaystyle{ w^2 + \bar w^2 = 0 }$

δ. για κάθε περιττό θετικό ακέραιο ν ισχύει:

$\displaystyle{ w^{2\nu } + \bar w^{2\nu } = 0 }$

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Γιώργο όμορφη άσκηση!

α. Αφού η διακρίνουσα ως προς w είναι αρνητική, θα έχει μιγαδικές λύσεις... (ή με άτοπο)

β. Οι λύσεις της Δευτεροβάθμιας είναι: $\displaystyle{{w_{1,2}} = \left| z \right|\left( {1 \pm i} \right)}$

άρα $\displaystyle{\left| w \right| = \sqrt 2 \left| z \right|}$ οπότε $\displaystyle{{\left| w \right|^2} = 2{\left| z \right|^2}}$

γ. Εύκολα έχουμε,
$\displaystyle{{w^2} + {{\bar w}^2} = {\left( {w + \bar w} \right)^2} - 2w\bar w = 4{\left| z \right|^2} - 2{\left| w \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} - 2 \cdot 2 \cdot {\left| z \right|^2} = 0}$

δ. Έχουμε, $\displaystyle{w = \left| z \right|\left( {1 + i} \right)}$ και $\displaystyle{\bar w = \left| z \right|\left( {1 - i} \right)}$

άρα, $\displaystyle{{w^{2v}} = {\left| z \right|^{2v}}{\left( {1 + i} \right)^{2v}} = {\left| z \right|^{2v}}{\left( {2i} \right)^v} = {\left| z \right|^{2v}} \cdot {2^v} \cdot {i^v}}$

οπότε, $\displaystyle{{{\bar w}^{2v}} = {\left| z \right|^{2v}}{\left( {1 - i} \right)^{2v}} = {\left| z \right|^{2v}} \cdot {\left( { - 2} \right)^v} \cdot {i^v} = - {\left| z \right|^{2v}} \cdot {2^v} \cdot {i^v} = - {w^{2v}}}$

δηλ. $\displaystyle{{w^{2v}} + {{\bar w}^{2v}} = 0}$ για κάθε ν περιττό ακέραιο αριθμό.

chris · #3

Καλημέρα

α)
$\displaystyle{ w^2 - 2\left| z \right|w + 2\left| z \right|^2 = 0 }$

$\Delta =4\left|z \right|^2-8\left|z \right|^2=-4\left|z \right|^2\prec 0, \left|z \right|\neq 0$

Άρα ο

δεν είναι πραγματικός(Το τριώνυμο $\displaystyle{ w^2 - 2\left| z \right|w + 2\left| z \right|^2 = 0 }$ έχει πραγματικούς συντελεστές και αρνητική διακρίνουσα)

β)
Οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου είναι:
$w_{1}=\left|z \right|+\left|z \right|i,w_{2}=\bar{w_{1}}=\left|z \right|-\left|z \right|i$

Άρα $\left|w \right|^2=\left|\left|z \right|+ \left|z \right|i \right|^2=\left(\sqrt{2\left|z \right|^2} \right)^2=2\left|z \right|^2$
(Δεν έχει σημασία αν στη θέση του

βάλουμε τον w_1

ή τον

)

γ)
$w^2+\bar{w}^2= \left(\left|z \right|+\left|z \right|i \right)^2+\left(\left|z \right|-\left|z \right|i \right)^2=(\left|z \right|^2-\left|z \right|^2+2\left|z \right|^2i)+(\left|z \right|^2-\left|z \right|^2-2\left|z \right|^2i)=0$

δ)
$\displaystyle w^{2\nu } + \bar w^{2\nu } =\left(\left|z \right|+\left|z \right|i \right)^{2n}+\left(\left|z \right|-\left|z \right|i \right)^{2n}=\left(2\left|z \right|^2i \right)^n+\left(-2\left|z \right|^2i \right)^n\stackrel{n=2k+1}= \left(2\left|z \right|^2i \right)^n-\left(2\left|z \right|^2i \right)^n=0$

EDIT: κ.Μάκη με προλάβατε για ένα λεπτό αλλά ήμουν πιο αναλυτικός

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Χρήστο η σύνθεση των λύσεων νομίζω ότι δίνει ξεκάθαρα την εικόνα της άσκησης!! Στο (γ) κίολας την έχουμε αντιμετωπίσει διαφορετικά, οπότε κερδίζει ο αναγνώστης!

Υ.Γ: Πάντως έπρεπε να την αφήσω πρώτα για εσάς τους μαθητές, αλλά βιάστικα! Δεν θα το ξανακάνω!

MΙΓΑΔΙΚΟΙ

MΙΓΑΔΙΚΟΙ

Re: MΙΓΑΔΙΚΟΙ

Re: MΙΓΑΔΙΚΟΙ

Re: MΙΓΑΔΙΚΟΙ

Μέλη σε σύνδεση