ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

magkiora · #1

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η εξίσωση: $z^{3} = -2\sqrt{2}i$ . Nα βρείτε τις ρίζες της.

Καλημέρα σε όλους !

A.Spyridakis · #2

Η εξίσωση γράφεται $z^3+(\sqrt{2}\ \cdot i)^3=0$ και μετά αναπτύσσουμε την ταυτότητα.

magkiora · #3

ΑΣΚΗΣΗ 2

Αν $w_{1} , w_{2} \epsilon C$ με $\left| w_{1} + w_{2} \right| = \left|w_{1} \right| = \left| w_{2} \right| = 1$ , να δείξετε ότι : $w_{1}^{2010} = w_{2}^{2010}$ .

magkiora · #4

A.Spyridakis έγραψε:Η εξίσωση γράφεται $z^3+(\sqrt{2}\ \cdot i)^3=0$ και μετά αναπτύσσουμε την ταυτότητα.

Καλησπέρα. Μπορείς να πεις με τη μία " Έστω z = x + yi ... " και να αντικαστήσεις.

#5

magkiora έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Αν $w_{1} , w_{2} \epsilon C$ με $\left| w_{1} + w_{2} \right| = \left|w_{1} \right| = \left| w_{2} \right| = 1$ , να δείξετε ότι : $w_{1}^{2010} = w_{2}^{2010}$ .

Η συνθήκη ${\color{red}\left| w_{1} + w_{2} \right| = \left|w_{1} \right|+\left| w_{2} \right|}$ κάνει τίς (διανυσματικές) εικόνες τών w_1

,

καί

νά είναι παράλληλα μεταξύ τους διανύσματα. Επειδή $\left| w_{1} + w_{2} \right| =1$ , οί (διανυσματικές) εικόνες τών w_1

καί

δέν μπορεί νά είναι ομόροπα διανύσματα, αλλά αντίρροπα. Επομένως w_1=-w_2

.

[edit: 04:08 2/10/2010] η "λύση" πού πρότεινα χρησιμοποιεί λάθος δεδομένο.

Θανάσης Νικολόπουλος · #6

Εγώ πάλι γιατί διαφωνώ με το τελευταίο;

Αν οι μιγαδικοί είναι αντίθετοι τότε το άθροισμά τους θα ήταν μηδέν και έτσι δεν θα μπορούσε το μέτρο του αθροίσματος να είναι μονάδα!!

Αυτό που συμβαίνει είναι ότι οι μιγαδικοί αποτελούν τις πλευρές παραλληλογράμμου (πλευράς 1) και οι διανυσματικές τους ακτίνες σχηματίζουν γωνία 120 μοιρών. Σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου το άθροισμα των δύο έχει διανυσματική ακτίνα το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων, δηλαδή τη διαγώνιο του εν λόγω παραλληλογράμμου, η οποία (χάρη στα ισόπλευρα τρίγωνα που σχηματίζονται) έχει επίσης μήκος ένα (άρα και το μέτρο του αθροίσματος είναι επίσης 1)...

Ζητώ συγνώμη που δεν παραθέτω παραστάσεις ή σχήμα, αλλά είμαι νέος χρήστης και δεν έχω μάθει ακόμα πως να τα χρησιμοποιώ (θα το βρω όμως)

Κάνω κάπου λάθος; Αν ναι, παρακαλώ διορθώστε με.

ΥΓ: Είμαι καθηγητής Μαθηματικών σε Λύκειο σε ένα μακρινό χωριό στη Ζάκυνθο. Όσο για την λύση δεν την κοίταξα ακόμα, γιατί στάθηκα στο παραπάνω... Αλλά θα το δω κι αυτό να καταθέσω επίσης τη γνώμη μου

Φιλικά

Θανάσης

#7

greenblooded έγραψε:Εγώ πάλι γιατί διαφωνώ με το τελευταίο;...

Πολύ καλά κάνεις καί διαφωνείς!
Από βιασύνη τό $\left| w_{1} + w_{2} \right| = \left|w_{1} \right| = \left| w_{2} \right|$ τό διάβασα $| w_{1} + w_{2} | =|w_{1}|+| w_{2} |$ , από όπου συμπέρανα... τήν παραλληλία. Συγγνώμη.

magkiora · #8

ΑΣΚΗΣΗ 3

Έστω $w \epsilon C^{*}$ μη πραγματικός μιγαδικός και $m, n \epsilon R$ με $m \neq n$ . Αν $\frac{w^{2} + mw + 1}{w^{2} + nw + 1} \epsilon R$ , να υπολογίσετε το $\left|w \right|$ .

Θανάσης Νικολόπουλος · #9

Παρεπιπτόντως, το ότι οι εικόνες των μιγαδικών σχηματίζουν γωνία 120 ή 240 μοιρών, σημαίνει ότι οι τρίτες δυνάμεις τους είναι ίσες (έχουν μέτρο 1 εις την τρίτη, δηλαδή 1 ενώ το όρισμά τους είναι 360 ή 720 μοίρες, ισοδύναμο με 0 μοίρες)... Και αφού 2010/3=670 ακριβώς, προκύπτει ότι και οι 2010-δυνάμεις τους θα είναι ίσες...

Πρόχειρη η σκέψη μου και χρησιμοποιησα ορίσματα που δεν είναι πια εντός εξεταστέας ύλης Λυκείου, αλλά είναι απλά πρώτες σκέψεις...

και ελπίζω όχι λάθος...

EDIT: Αγαπητέ μου τα λάθη είναι για τους ανθρώπους, εμάς δηλαδή... Το καλό είναι να τα εντοπίζουμε και να τα διορθώνουμε

Το λέμε στους μαθητές μας, προφανώς ισχύει και για εμάς...

Παρεπιπτόντως χάρηκα που μου έδωσες την αφορμή να κάνω τα πρώτα ποσταρίσματα στο mathematica.gr (είμαι πολύ νέος, τώρα ανακαλύπτω αυτό το υπέροχο forum)...

Αλλά να τονίσω ότι τα παραπάνω είναι πρόχειρες σκέψεις, πχ μόλις συνειδητοποιώ ότι οι παραπάνω περιπτώσεις μιγαδικών πιθανόν αποτελούν λύσεις, αλλά πουθενά δεν εξασφαλίζω ότι είναι και μοναδικές! Θέλει κι άλλο ψάξιμο...

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #10

ΑΣΚΗΣΗ 2

Αρχικά έχουμε $\displaystyle{w_1 \ne 0}$ και $\displaystyle{w_2 \ne 0}$ .Επίσης $\displaystyle{\left| {w_1 } \right| = 1 \Rightarrow \overline {w_1 } =\frac{1}{{w_1 }}}$ και $\displaystyle{\left| {w_2 } \right| = 1 \Rightarrow \overline {w_2 } = \frac{1}{{w_2 }}}$
Οπότε
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left| {w_1 + w_2 } \right| = \left| {w_1 } \right| \Rightarrow w_1 \overline {w_2 } + w_2 \overline {w_1 } = - 1 \Rightarrow \frac{{w_1 }}{{w_2 }} + \frac{{w_2 }}{{w_1 }} = - 1 \Rightarrow w_1 ^2 + w_2 ^2 = - w_1 w_2 \\ \\ \Rightarrow w_1 ^2 + w_1 w_2 + w_2 ^2 = 0 \Rightarrow w_1 ^3 - w_2 ^3 = 0 \Rightarrow w_1 ^3 = w_2 ^3 \\ \end{array} }$

Αρα $\displaystyle{ w_1 ^{2010} = (w_1 ^3 )^{670} = (w_2 ^3 )^{670} = w_2 ^{2010} }$

magkiora · #11

Νομίζω πως είναι η πιο κομψή και γρήγορη λύση.

Έτσι την έλυσα και εγώ.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #12

Ειχα την εντύπωση οτι ειχε συζητηθει παλαιοτέρα.Θυμόμουν οτι την είχε ανεβάσει η Κωνσταντίνα (konkyr) και είχε απαντήσει ο κύριος Κυριακόπουλος. Τελικά ηταν μια παρόμοια viewtopic.php?f=51&t=4815

magkiora · #13

Nαι, τώρα το είδα και εγώ.

Μάκης Χατζόπουλος · #14

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Αρχικά έχουμε $\displaystyle{w_1 \ne 0}$ και $\displaystyle{w_2 \ne 0}$ .Επίσης $\displaystyle{\left| {w_1 } \right| = 1 \Rightarrow \overline {w_1 } =\frac{1}{{w_1 }}}$ και $\displaystyle{\left| {w_2 } \right| = 1 \Rightarrow \overline {w_2 } = \frac{1}{{w_2 }}}$
Οπότε
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left| {w_1 + w_2 } \right| = \left| {w_1 } \right| \Rightarrow w_1 \overline {w_2 } + w_2 \overline {w_1 } = - 1 \Rightarrow \frac{{w_1 }}{{w_2 }} + \frac{{w_2 }}{{w_1 }} = - 1 \Rightarrow w_1 ^2 + w_2 ^2 = - w_1 w_2 \\ \\ \Rightarrow w_1 ^2 + w_1 w_2 + w_2 ^2 = 0 \Rightarrow w_1 ^3 - w_2 ^3 = 0 \Rightarrow w_1 ^3 = w_2 ^3 \\ \end{array} }$
Αρα $\displaystyle{ w_1 ^{2010} = (w_1 ^3 )^{670} = (w_2 ^3 )^{670} = w_2 ^{2010} }$

Μέσα στην λύση του Δημήτρη προκύπτει και ένα εξτρά υποερώτημα: $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{{w_1}}}{{{w_2}}}} \right) = - \frac{1}{2}}$

greenblooded έγραψε:
ΥΓ: Είμαι καθηγητής Μαθηματικών σε Λύκειο σε ένα μακρινό χωριό στη Ζάκυνθο.
Θανάσης

Θανάση σε ποιο σχολείο της Ζακύνθου είσαι; Δες την υπογραφή μου και θα καταλάβεις!!

Το επίθετό σου ξεκινάει από "Ν";; Στείλε μου π.μ αν δεν θες να φανούν τα στοιχεία σου...

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #15

Ας προσθέσω και εγω μια ασκηση στην συλλόγη,αναλόγης δυσκολίας με ενδιαφέρον το iv ερώτημα
ΑΣΚΗΣΗ 4
Δίνεται ο μιγαδικός $\displaystyle{{\rm z = - }\frac{{\rm 1}}{{\rm 2}} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}$ . Να βρείτε:
i. $\displaystyle{z^3 }$

ii. $\displaystyle{z^2 + z + 1}$

iii. $\displaystyle{z^{2007} }$

iv. $\displaystyle{w_\nu = z^{2\nu } + z^\nu + 1}$ με $\displaystyle{\nu \in {\rm N}^* }$

magkiora · #16

Ευχαριστώ

.

magkiora · #17

Την είδες την άσκηση 3 ;

Μάκης Χατζόπουλος · #18

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Ας προσθέσω και εγω μια ασκηση στην συλλόγη,αναλόγης δυσκολίας με ενδιαφέρον το iv ερώτημα
ΑΣΚΗΣΗ 4
Δίνεται ο μιγαδικός $\displaystyle{{\rm z = - }\frac{{\rm 1}}{{\rm 2}} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}$ . Να βρείτε:
i. $\displaystyle{z^3 }$

ii. $\displaystyle{z^2 + z + 1}$

iii. $\displaystyle{z^{2007} }$

iv. $\displaystyle{w_\nu = z^{2\nu } + z^\nu + 1}$ με $\displaystyle{\nu \in {\rm N}^* }$

1. Α΄ τρόπος: Με ταυτότητα
Β΄ τρόπος: Με τριγωνομετρική μορφή

2. Με διαφορά κύβων από το (α) ερώτημα

3. "σπάσιμο" της δύναμης

4. Α΄τρόπος με Μαθηματική επαγωγή (με μια ιδιαιτερότητα;;;)

Β΄ τρόπος: Γράφουμε το ν=3κ+υ, όπου υ=0,1,2

Δημήτρη συγνώμη για την πρόχειρη παρουσίαση αλλά ήθελα να το κάνω και εγώ μια φορά για να καταλάβουν κάποιοι πόσο άσχημο είναι αυτός ο τρόπος!

chris · #19

ΑΣΚΗΣΗ 3

Έστω $w \epsilon C^{*}$ μη πραγματικός μιγαδικός και $m, n \epsilon R$ με $m \neq n$ . Αν $\displaystyle \frac{w^{2} + mw + 1}{w^{2} + nw + 1} \epsilon R$ , να υπολογίσετε το $\left|w \right|$

ΛΥΣΗ

$\displaystyle \frac{w^2+mw+1}{w^2+nw+1}=\frac{\bar{w}^2+m\bar{w}+1}{\bar{w}^2+n\bar{w}+1}\Leftrightarrow |w|^4+nw^2\bar{w}+w^2+mw\bar{w}^2+mn|w|^2+mw+\bar{w}^2+n\bar{w}+1=|w|^4+mw^2\bar{w}+w^2+nw\bar{w}^2+mn|w|^2+nw+\bar{w}^2+m\bar{w}+1\Leftrightarrow w^2\bar{w}(n-m)-w\bar{w}^2(n-m)-w(n-m)+\bar{w}(n-m)\stackrel{n\neq m}\Leftrightarrow (|w|^2-1)(w-\bar{w})=0$

και αφού ο

δεν είναι πραγματικός τότε |w|=1

magkiora · #20

Ωραία λύση. Αλλιώς την έχω εγώ. Άλλη σκέψη τελείως ! ( γλίτωσα λίγες πράξεις )

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.

Μέλη σε σύνδεση