Μιγαδική Εξίσωση

#1

Να λύσετε την εξίσωση

w-|w-9-6i|=17+2i,

$w\in\mathbb{C}.$

kwstas12345 · #2

Άν θέσουμε $\displaystyle w=x+yi ,x,y \in\mathbb{R}$ τότε η δοσμένη εξίσωση θα γίνει:

$\displaystyle x+yi-\left|x-9+\left(y-6 \right)i \right|=17+2i\Leftrightarrow x-\left|x-9+\left(y-6 \right)i \right|=17\wedge y=2$

άρα $\displaystyle y=2$ επομένως:

$\displaystyle x-\left|x-9+\left(y-6 \right)i \right|=17\Leftrightarrow x-\sqrt{\left(x-9 \right)^{2}+16}=17\Leftrightarrow \sqrt{\left(x-9 \right)^{2}+16}=-17+x$

πρέπει και $\displaystyle x\geq 17$ έπειτα υψώνοντας στο τετράγωνο:

$\displaystyle x^{2}-18x+81+16=x^{2}-34x+289\Leftrightarrow x=12$ ,λύση που σεν ικανοποιει τους περιορισμούς από ότι βλέπω.

Πιστεύω να είμαι σωστός,,

Φιλκά,
Κώστας

#3

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την:

$\displaystyle{ |w - 9 - 6i| = w - (17 + 2i) }$

Αν w=x+yi, x,y πραγματικοί τότε:

$\displaystyle{ |x - 9 + (y - 6)i| = (x - 17) + (y - 2)i }$

Αν το y είναι διαφορετικό απο το 2 τότε είναι αδύνατη.

Αν y=2 τότε:

$\displaystyle{ |x - 9 - 4i| = x - 17\mathop \Rightarrow \limits^{x \ge 17} ...(x - 9)^2 + 16 = (x - 17)^2 \Rightarrow ...x = 12 }$

απορρίπτεται αφού 12<17.

Συνεπώς δεν υπάρχει μιγαδικός που να ικανοποιεί την εξίσωση.

mathxl · #4

Είναι
$\displaystyle{w - |w - 9 - 6i| = 17 + 2i \Leftrightarrow w = |w - 9 - 6i| + 17 = w - 2i}$
άρα το δεύτερο μέλος είναι πραγματικός και θα ισούται με το συζυγή του
$\displaystyle{w - 2i = \bar w + 2i \Leftrightarrow 2{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( w \right)i = 4i \Leftrightarrow {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( w \right) = 2}$

Αντικαθιστώντας στην αρχική έχουμε
$\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) + 2i - \sqrt {{{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) - 9} \right)}^2} + 16} = 17 + 2i \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) - \sqrt {{{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) - 9} \right)}^2} + 16} = 17 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) - 17 = \sqrt {{{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) - 9} \right)}^2} + 16} ,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) \ge 17 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left[ {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right)} \right]^2} - 34{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) + 289 = {\left[ {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right)} \right]^2} - 18{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) + 97 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{16{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) = 192 \Leftrightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right) = 12}$
λύση που απορρίπτεται, οπότε τέτοιος μιγαδικός δεν υπάρχει ή έχω κάνει λάθος σε πράξεις

#5

τι σύμπτωση ...

Κώστας,Χρήστος και Βασίλης απάντησαν στις 4:19

chris · #6

Θέτω

$\displaystyle z-|z|=8-4i\stackrel{z=a+bi}\Rightarrow a-\sqrt{a^2+b^2}+bi =8-4i\Rightarrow \begin{cases} b=-4 \\ a-\sqrt{a^2+16}=8 \\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=-4 \\ a^2+64-16a=a^2+16 \\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=-4 \\ a=3 \\ \end{cases}\Rightarrow z=3-4i$

που όμως απορρίπτεται....Φωτεινή κάνω την διαφορά στο χρόνο και στον τρόπο λύσης

mathxl · #7

Μία άλλη αντιμετώπιση μπορεί να γίνει και ως εξής
$\displaystyle{w - |w - 9 - 6i| = 17 + 2i \Leftrightarrow |w - 9 - 6i| = w - \left( {17 + 2i} \right) \Rightarrow |w - 9 - 6i| = \left| {w - \left( {17 + 2i} \right)} \right|}$
άρα η εικόνα του w ανήκει στην παραπάνω μεσοκάθετο κτλ (πράξεις πράξεις πράξεις...)

A.Spyridakis · #8

Φωτεινή έγραψε:τι σύμπτωση ...

Κώστας,Χρήστος και Βασίλης απάντησαν στις 4:19

Tυχαίο???

Μιγαδική Εξίσωση

Μιγαδική Εξίσωση

Re: Μιγαδική Εξίσωση

Re: Μιγαδική Εξίσωση

Re: Μιγαδική Εξίσωση

Re: Μιγαδική Εξίσωση

Re: Μιγαδική Εξίσωση

Re: Μιγαδική Εξίσωση

Re: Μιγαδική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση