Δευτεροβάθμια στο C(Δελτίο Νο:1)

math68 · #1

Kαλημέρα σε όλα τα μέλη του mathematica!
Θα ήθελα τις παρατηρήσεις σας για την παρακάτω άσκηση, η οποία είναι προσωπική κατασκευή πάνω σε γνωστή ιδέα.
Δίνεται στο C η εξίσωση: $z^2-({\Delta+2})\sqrt{3}\,z+5\Delta+6=0$ , όπου $\Delta$ η διακρίνουσά της, η οποία εξίσωση έχει ρίζες μιγαδικές και μη πραγματικές.
α) Να βρείτε τις ρίζες $z_{1},z_{2}$ της παραπάνω εξίσωσης.
β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K = $z_{1}^{-{2012}}$ \displaystyle{z_{2}^{-{2015}}

z_{1}^{-{2015}} $z_{2}^{-{2012}}$ .
γ) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των μιγαδικών a = $z_{1}^{-{2012}}$ \displaystyle{z_{2}^{-{2015}} και
b =

z_{1}^{-{2015}} $z_{2}^{-{2012}}$ είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #2

Αρχικα επειδή οι εξίσωση έχει μιγαδικές ρίζες έχουμε Δ<0.

Υπολογίζουμε την διακρίνουσα της $\displaystyle{z^2 - \sqrt 3 (\Delta + 2)z + 5\Delta + 6 = 0}$ .
Εχουμε $\displaystyle{\Delta = 3\Delta ^2 - 8\Delta - 12}$ οπότε Δ=-1 ή Δ=4 απορρίπτεται.

Για Δ=-1 η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{z^2 - \sqrt 3 z + 1 = 0}$ , η οπία έχει ρίζες τις $\displaystyle{z_{1,2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \pm \frac{1}{2}i}$

Έστω $\displaystyle{z_1 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i}$ και $\displaystyle{z_2 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i}$ . (ομοια αν $\displaystyle{ z_1 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i }$ και $\displaystyle{z_2 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i}$ )

τότε έχουμε $\displaystyle{z{}_1^3 = i}$ και $\displaystyle{z{}_2^3 = - i}$ οπότε

$\displaystyle{ K = z_1^{ - 2012} z_2^{ - 2015} + z_1^{ - 2015} z_2^{ - 2012} = \frac{1}{{z_1^{2012} z_2^{2015} }} + \frac{1}{{z_1^{2015} z_2^{2012} }} = \frac{{z{}_1^3 + z{}_2^3 }}{{z_1^{2015} z_2^{2015} }} = \frac{{i - i}}{{1^{2015} }} = 0 }$

Επίσης
$\displaystyle{ a = z_1^{ - 2012} z_2^{ - 2015} = \frac{1}{{z_1^{2012} z_2^{2015} }} = \frac{1}{{z_1^{2012} z_2^{2012} z_2^3 }} = \frac{1}{{z{}_2^3 (z_1 z_2 )^{2012} }} = \frac{1}{{ - i}} = i }$

και
$\displaystyle{ \beta = z_1^{ - 2015} z_2^{ - 2012} = \frac{1}{{z_2^{2012} z_1^{2015} }} = \frac{1}{{z_1^{2012} z_2^{2012} z_1^3 }} = \frac{1}{{z{}_1^3 (z_1 z_2 )^{2012} }} = \frac{1}{i} = - i }$

Οπότε η εικόνα του α είναι το Α(0,-1) και του β το Β(0,1) τα οποία είναι συμμετρικά ως προς το Ο(0,0)

Ειχε δημοσιεύσει παλαιότερα και ο κ.Καρδάσης μια παρόμοια ασκηση.Η ασκηση που αναφέρω βρίσκεται viewtopic.php?f=51&t=3097

math68 · #3

Δημήτρη ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες με την άσκηση και κυρίως που αφιέρωσες χρόνο να γράψεις αυτή την όμορφη λύση.
Επίσης ευχαριστώ και κάθε άλλο μέλος που ενδεχομένως ασχολήθηκε μαζί της.
Ωστόσο καταθέτω και γω κάποιες μικρές σκέψεις, όπως:
Στο β) ερώτημα (μιας και στόχος μου δεν ήταν να υπολογιστούν οι δυνάμεις $z_{1}^{3}$ και $z_{2}^{3}$ , αλλά να χρησιμοποιηθούν οι τύποι Vieta):
K = $z_{1}^{-{2015}}z_{2}^{-{2015}}( z_{1}^{3}+z_{2}^{3})$ = $(z_{1}z_{2})^{-{2015}}[\left(z_{1}+z_{2} \right)^{3}-3z_{1}z_{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)]$ = ... = 0.
Στο γ) ερώτημα: λόγω β) ερωτήματος Κ = 0 $\Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow$ οι εικόνες των a και b είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων.
Υ.Γ. 1: η ιδέα βάσει της οποίας η διακρίνουσα εμπεριέχεται στους συντελεστές της δευτεροβάθμιας υπάρχει σε πολλά βοηθήματα καταξιωμένων συναδέλφων (ακόμα και σε βοήθημα της Α Λυκείου) και προς Θεού δε διεκδικώ την πατρότητα.
Υ.Γ. 2: κάθε άλλη παρατήρηση ευπρόσδεκτη και θα με χαροποιήσει ιδιαίτερα.

Δευτεροβάθμια στο C(Δελτίο Νο:1)

Δευτεροβάθμια στο C(Δελτίο Νο:1)

Re: Δευτεροβάθμια στο C

Re: Δευτεροβάθμια στο C

Μέλη σε σύνδεση