Χαριτοδιπλωμένη

KARKAR · #1

Για τη συνεχή συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , και για κάθε $x\in R$ , ισχύουν τα εξής :

$\displaystyle f(x)-x=\frac{1}{f(x)}$ και f(x)-x>-f(x)

. Βρείτε την

και το σύνολο τιμών της .

Ας την ονομάσουμε "χαριτοδιπλωμένη "

Είναι δημιούργημα για σχολική χρήση !

#2

KARKAR έγραψε:Για τη συνεχή συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , και για κάθε $x\in R$ , ισχύουν τα εξής :

$\displaystyle f(x)-x=\frac{1}{f(x)}$ και . Βρείτε την και το σύνολο τιμών της .

Ας την ονομάσουμε "χαριτοδιπλωμένη " Είναι δημιούργημα για σχολική χρήση !

H συνάρτηση

είναι συνεχής και από τη δοσμένη σχέση ισχύει $f(x) \neq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ,

οπότε διατηρεί πρόσημο.

Επίσης ισχύουν: $\displaystyle{f(x)-x>-f(x) \Leftrightarrow f(x)>\frac{x}{2} (I)}$ και

$\displaystyle{f(x)-x=\frac{1}{f(x)} \Leftrightarrow f^2(x)-xf(x)-1=0 \Leftrightarrow f(x)=\frac{x +\sqrt{x^2+4}}{2}}$ , λόγω της (I)

.

STOPJOHN · #3

Καλησπέρα , να ρωτήσω η τελευταία ισοδυναμία προκύπτει με τριωνυμο και διακρίνουσα ; η με άλλο τρόπο ; Δηλαδη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διακρίνουσα όταν είναι συσχετιζόμενες οι μεταβλητές ; Νομίζω ότι έχει συζητηθεί παλαιότερα ....αλλά δεν είμαι σίγουρος

Γιάννης

#4

Γιάννη καλησπέρα!

Πράγματι το παραπάνω το έχουμε συζητήσει αρκετές φορές! Στο αποτέλεσμα που καταλήγει ο Λευτέρης μπορούμε να καταλήξουμε είτε με συμπλήρωση τετραγώνου είτε κάνοντας χρήση του τύπου της διακρίνουσας (στην ουσία είναι ταυτόσημοι οι δύο αυτοί τρόποι). Και στις δύο περιπτώσεις πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στη διατύπωση κάτι που το κάνει ο Λευτέρης αφού έχει ήδη αποδείξει προηγουμένως ότι $f(x)>\dfrac{x}{2}$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ συνεπώς η μία περίπτωση από τη συμπλήρωση τετραγώνου (ή από τη διακρίνουσα) απορρίπτεται.

Δεν έχει σημασία το ότι οι μεταβλητές είναι αλληλοεξαρτώμενες. Στην πραγματικότητα με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε μία έκφραση του f(x)

με τη βοήθεια του

κάτι που δεν απαγορεύεται.

Αλέξανδρος

KARKAR · #5

Σπεύδω να γράψω ότι , η λύση που πρότεινα , προβλέπει πριν το τελευταίο βήμα το εξής :

$\displaystyle f^2(x)-xf(x)+\frac{x^2}{4}=1+\frac{x^2}{4}$ κ.λ.π.

batmsup1 · #6

Μήπως μπορεί κάποιος να παραθέσει τους συνδέσμους οπου έχει θιχτεί το θέμα?

STOPJOHN · #7

Αλέξανδρε καλησπέρα διαφωνώ με τη σκέψη ότι μπορεί να εφαρμοσθεί ο τύπος της διακρίνουσας όταν οι συντελεστές εξαρτώνται από την μεταβλητή ...αν θυμάμαι καλά ο Α.Κυριακόπουλος το είχε ισχυρισθεί και πιστευω ,χωρίς να είμαι σίγουρος ,ότι δεν είχαμε συφωνήσει όλοι θα το ξαναδώ
Καλό βράδυ
Γιάννης

#8

Γιάννη κοίταξε την άσκηση εδώ στην οποία πήγα να μπερδευτώ. Ευτυχώς ο Αχιλλέας τοποθέτησε τα πράγματα στη σωστή τους βάση.

Επίσης κοίταξε τη λύση μου στο Δ3 των Πανελληνίων του 2010 εδώ. Η λύση έγινε προσεκτικά για να μην υπάρχουν "σκοτεινά" σημεία. Τα σχόλια για την παραπάνω λύση βρίσκονται με τη σειρά που αναφέρονται:

1) εδώ (Αντώνης Κυριακόπουλος)
2) εδώ (Αντώνης Σπυριδάκης)
3) εδώ (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος)
4) εδώ (Νίκος Μαυρογιάννης)
5) εδώ (Αλέξανδρος Συγκελάκης)
6) εδώ (Κώστας Σερίφης)
7) εδώ (Αντώνης Κυριακόπουλος)
8) εδώ και εδώ (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος)
9) εδώ (Μάνος Μανουράς)
10) εδώ (Μπάμπης Στεργίου)
11) εδώ (Αχιλλέας Συνεφακόπουλος - παρέθεσε μία σελίδα βιβλίου γραμμένο από ένα διάσημο μαθηματικό - τον Arnold - και τώρα δε λειτουργεί το link με τη σελίδα. Ο σύνδεσμος όμως παραπέμπει στο βιβλίο).
12) εδώ (Κώστας Σερίφης)
13) εδώ (Νίκος Μαυρογιάννης)
14) εδώ (Σιλουανός Μπραζιτίκος)
15) εδώ (Νίκος Μαυρογιάννης)
16) εδώ (Αντώνης Κυριακόπουλος)
(Αν κοιτάξει κάποιος και τις ενδιάμεσες δημοσιεύσεις θα δει με πληρότητα τον διάλογο που έγινε τότε και μπορεί να βγάλει τα συμπεράσματά του)

Είχε αναφερθεί αργότερα και αυτό το σχόλιο του dennys στο οποίο απάντησε ο Μιχάλης Λάμπρου ακριβώς από κάτω.

Πιθανόν το συγκεκριμένο θέμα να συζητήθηκε και αλλού στο mathematica. Γράφω τις περιπτώσεις στις οποίες συμμετείχα και τις οποίες θυμάμαι. Αν υπάρχουν κι άλλες αναφορές ας γραφτούν.

Αλέξανδρος

Αρχιμήδης 6 · #9

STOPJOHN έγραψε:Καλησπέρα , να ρωτήσω η τελευταία ισοδυναμία προκύπτει με τριωνυμο και διακρίνουσα ; η με άλλο τρόπο ; Δηλαδη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διακρίνουσα όταν είναι συσχετιζόμενες οι μεταβλητές ; Νομίζω ότι έχει συζητηθεί παλαιότερα ....αλλά δεν είμαι σίγουρος

Γιάννης

Μπορούμε !

Η διακρίνουσα είναι απλά μια συμπλήρωση τετραγώνου.

Για να γίνω ξεκάθαρος

f^2(x)-xf(x)-1=0

Και συνεχίζουμε βάζοντας ριζικό.

Εγώ σε τέτοιες περιπτώσεις κάνω συμπλήρωση τετραγώνου για να έχω περισσότερες πληροφορίες της διακρίνουσας και κυρίως σε θέματα θεωρίας αριθμών.

Δημήτρης

STOPJOHN · #10

Καλησπέρα ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ και εγώ κάνω συμπλήρωση τετραγώνου γιατί με την εφαρμογή του τύπου της διακρίνουσας δεν είναι σίγουρο ότι είναι είναι σωστό. Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για τις κατατοπιστικές παραπομπές του ......η αμφισβήτηση οδηγεί στη μάθηση ....ισχύει και το αντίστροφο

Καλό βράδυ
Γιάννης

Αρχιμήδης 6 · #11

STOPJOHN διάβασα τα μηνύματα που παρέθεσε ο Αλέξανδρος και κατέληξα στο συμπέρασμα ότι είναι μη τυπικό να χρησιμοποιώ τον τύπο της διακρίνουσας σε τέτοιες περιπτώσεις για τον λόγο ότι ο τύπος της διακρίνουσας όπως τον έχουμε διδαχθεί θα μας δώσει συγκεκριμένες λύσεις του αγνώστου ενώ η εφαρμογή του τύπου για εξίσωση όπως αυτή (με την συνάρτηση) που δεν είναι δευτεροβάθμια θα δώσει λύσεις που αποτελούν συνάρτηση. Ναι είναι το ίδιο αλγεβρικό αποτέλεσμα και στις 2 περιπτώσεις όμως ο ποσοδείκτης στης διακρίνουσας στην πρώτη περίπτωση που έχουμε διδαχθεί είναι υπαρξιακός και μας δίνει τις συγκεκριμένες λύσεις και στην άλλη περίπτωση είναι καθολικός γιατί μας δίνει συνάρτηση.
Ναι θα πει κάποιος οκ έχω το ίδιο αλγεβρικό αποτέλεσα, στους ποσοδείκτες θα κολλήσουμε? Εδώ θα του απαντούσα ότι ένας βασικός λόγος που εμφανίζονται τα παράδοξα των μαθηματικών είναι η μη αυστηρότητα (σε κάποιες περιπτώσεις) στην μαθηματική γλώσσα -μαθηματική λογική από μέρους μας ασφαλώς.

Δημήτρης

Χαριτοδιπλωμένη

Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Re: Χαριτοδιπλωμένη

Μέλη σε σύνδεση