Απορία σε Άσκηση Συνέχειας

[Ilias13]

Καλησπέρα!
Έχω μία απορία σχετικά με μία άσκηση που αφορά τη συνέχεια.. Μιλάμε για την Άσκηση 1(i) σελίδα: 79 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου.
Συγκεκριμένα στο υπάρχει το όριο , όμως η δεν ορίζεται...αυτή η περίπτωση ( δηλαδή να υπάρχει το όριο σ'ένα και η να μην ορίζεται στο ) δεν αναφέρεται στα είδη Ασυνέχειας ...ακόμα και στα πανεπιστημιακά συγγράμματα...Στο σχολικό λυσάρι δεν το αναφέρει ως σημείο ασυνέχειας...
Προσωπική μου άποψη είναι ότι το σημείο αυτό είναι ξεκάθαρα σημείο ασυνέχειας...
Η κύρια απορία μου πέρα από την άσκηση είναι: τι θεωρείται μία συνάρτηση που ενώ υπάρχει το όριο στο , το δεν ορίζεται? Συνεχής ή Ασυνεχής ?
Μπορείτε να μου πείτε την άποψη σας? Ευχαριστώ

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Καλησπέρα!
Έχω μία απορία σχετικά με μία άσκηση που αφορά τη συνέχεια.. Μιλάμε για την Άσκηση 1(i) σελίδα: 79 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου.
Συγκεκριμένα στο υπάρχει το όριο , όμως η δεν ορίζεται...αυτή η περίπτωση ( δηλαδή να υπάρχει το όριο σ'ένα και η να μην ορίζεται στο ) δεν αναφέρεται στα είδη Ασυνέχειας ...ακόμα και στα πανεπιστημιακά συγγράμματα...Στο σχολικό λυσάρι δεν το αναφέρει ως σημείο ασυνέχειας...
Προσωπική μου άποψη είναι ότι το σημείο αυτό είναι ξεκάθαρα σημείο ασυνέχειας...
Η κύρια απορία μου πέρα από την άσκηση είναι: τι θεωρείται μία συνάρτηση που ενώ υπάρχει το όριο στο , το δεν ορίζεται? Συνεχής ή Ασυνεχής ?
Μπορείτε να μου πείτε την άποψη σας? Ευχαριστώ

Τα έχεις μπερδέψει.

Σου γράφω τους ορισμούς μέχρι το σημείο που σε αφορούν.

Εστω συνάρτηση.

Η είναι συνεχής στο αν..........

Αν λοιπόν το δεν μπορούμε να μιλάμε για συνέχεια της στο

Σε αντίθεση το

μπορεί να ορισθεί και για αρκεί να πληρεί κάποιες προυποθέσεις.

Στα σχολικά μαθηματικά αυτές είναι να ορίζεται η σε ένα σύνολο της μορφής η

η

[Ilias13]

Πολύ ωραία, συμφωνώ απόλυτα...
Και γιατί στο σχολικό λυσάρι λοιπόν δεν το δέχεται ως σημείο ασυνέχειας και θεωρεί τη συνάρτηση συνεχή σ'αυτό το σημείο? Ούτε σε αυτό το παράδειγμα, ούτε στο ανάλογο επόμενο της ίδιας άσκησης...
Όσον αφορά για τον ορισμό που απαιτεί το να ανήκει στο ... Σε αυτή την άσκηση η συνεχής γραμμή "κόβεται" απλά από ένα που δεν ανήκει στο ...αυτό που σκέφτηκα (και παλεύοντας να δικαιολογήσω το λυσάρι) εφόσον οριακά η τείνει να πάρει την τιμή , μήπως υπήρχε κάτι (π.χ θεώρημα) που να αποδείκνυε αυτό ως συνέχεια..

[drakpap]

Στο λυσάρι σου λέει οτι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της εκτός του x=1. Το 3,5 δεν είναι στο πεδίο ορισμού άρα δεν ασχολούμαστε. Ελπίζω να σε βοήθησα.

[margk]

Σε σημεία εκτός πεδίου ορισμού της συνάρτησης δεν εξετάζουμε την ιδιότητα της συνέχειας. Είναι σημεία στα οποία δεν αποδίδουμε στην συνάρτηση κανένα από τους δυο χαρακτηρισμούς (συνεχής ή ασυνεχής).

[Ilias13]

Φίλε drakpap..
Στην άσκηση λέει να του πούμε σε ποια σημεία (από το σχήμα) η δεν είναι συνεχής...Θέλει δηλαδή τα σημεία ασυνέχειας...αφού στο σχήμα σου έχει ανοιχτό κυκλάκι σε εκέινο το σημείο δεν πρέπει να το σχολιάσεις σαν σημείο συνέχειας ή ασυνέχειας?

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Φίλε drakpap..
Στην άσκηση λέει να του πούμε σε ποια σημεία (από το σχήμα) η δεν είναι συνεχής...Θέλει δηλαδή τα σημεία ασυνέχειας...αφού στο σχήμα σου έχει ανοιχτό κυκλάκι σε εκέινο το σημείο δεν πρέπει να το σχολιάσεις σαν σημείο συνέχειας ή ασυνέχειας?

ΟΧΙ.
Αφού έχει κυκλάκι δεν ορίζεται εκεί.Αφού το σημείο δεν είναι στο πεδίο ορισμού δεν εξετάζουμε την συνέχεια
της συνάρτησης εκεί.
Να σου δώσω ένα παράδειγμα.
Δίνεται η
με
Δεν μπορούμε να μιλάμε για την συνέχεια της στο αφού δεν βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της.
Πιο λιανά.Η ερώτηση είναι η συνεχής στο είναι ανόητη η ,,,,.μαθηματικά χωρίς νόημα.

[Ilias13]

Φίλε drakpap..
Στην άσκηση λέει να του πούμε σε ποια σημεία (από το σχήμα) η δεν είναι συνεχής...Θέλει δηλαδή τα σημεία ασυνέχειας...αφού στο σχήμα σου έχει ανοιχτό κυκλάκι σε εκέινο το σημείο δεν πρέπει να το σχολιάσεις σαν σημείο συνέχειας ή ασυνέχειας?

ΟΧΙ.
Αφού έχει κυκλάκι δεν ορίζεται εκεί.Αφού το σημείο δεν είναι στο πεδίο ορισμού δεν εξετάζουμε την συνέχεια
της συνάρτησης εκεί.
Να σου δώσω ένα παράδειγμα.
Δίνεται η
με
Δεν μπορούμε να μιλάμε για την συνέχεια της στο αφού δεν βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της.
Πιο λιανά.Η ερώτηση είναι η συνεχής στο είναι ανόητη η ,,,,.μαθηματικά χωρίς νόημα.

Οκ κατανοητό! Ευχαριστώ!

[Παπαστεργίου Κώστας]

Στα σχολικά βιβλία οι ορισμοί δεν απολαμβάνουν ιδιαιτέρας εκτιμήσεως όπως και θα έπρεπε. Όχι όμως και στα πανεπιστημιακά.
Ο ορισμός του ορίου σε ένα σημείο προηγείται αυτού της συνεχείας και δεν έχει καμία σχέση με το εάν το σημείο αυτό ανήκει στο Π.Ο. της. Σκεφθείτε ότι το σημείο μπορεί να είναι το το οποίο όχι μόνο δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης αλλά ούτε καν στο R. Βεβαίως ο ορισμός της συνέχειας μιας συναρτήσεως σε ένα σημείο απαιτεί να ορίζεται (να έχει τιμή) η συνάρτηση σ αυτό το σημείο. Δε νομίζω ότι θα μιλούσε κανείς για συνέχεια της στο διάστημα .

Η περίπτωση του προβληματισμού του ''Ilias 13'' έχει ενδιαφέρον από τη εξής σκοπιά: Η συνάρτηση στο 3,5 είναι "εν δυνάμει" συνεχής. Καθίσταται δηλαδή συνεχής αν της δωρίσουμε για το 3,5 σαν τιμή το όριό της στο 3,5 εφόσον είναι πεπερασμένο. Είναι μια συνεχώς επεκτεινόμενη συνάρτηση. Δε μιλάω βέβαια σαν μαθητής.

Όλοι οι προβληματισμοί πηγάζουν από το ίδιο το σχολικό βιβλίο στο οποίο η εισαγωγή στη συνέχεια έχει ως ακολούθως: Αφού δίνει τρία διαγράμματα λέει ότι το ένα από αυτά δεν διακόπτεται. Δηλαδή ο μαθητής μένει με την εντύπωση ότι αν ξεκολλήσουμε ένα σημείο (που δεν έχει διαστάσεις) από μια γραμμή μένει κάποιο κενό; Αμέσως παρακάτω, από τον ορισμό, προκύπτει το ερώτημα (και μου το έχουν κάνει μαθητές). Τι γίνεται όταν μια συνάρτηση είναι ορισμένη μόνο στο σημείο ; Είναι συνεχής;
Είναι δυνατόν να δοθεί πειστική απάντηση με τα εργαλεία που διαθέτει το σχολικό εγχειρίδιο ;

Και το καλύτερο. Ορίζεται η συνάρτηση σαν διαδικασία. Έχει ορισθεί πουθενά η έννοια διαδικασία;
Και στο κάτω κάτω της γραφής άλλη είναι η συνάρτηση και άλλη η ;
Θησαυρός αυτό το βιβλίο.
Με συμπάθεια στον Ilia του 13ου.
ΠΚ

[Christos.N]

Και το καλύτερο. Ορίζεται η συνάρτηση σαν διαδικασία. Έχει ορισθεί πουθενά η έννοια διαδικασία;
Και στο κάτω κάτω της γραφής άλλη είναι η συνάρτηση και άλλη η ;
Θησαυρός αυτό το βιβλίο.
Με συμπάθεια στον Ilia του 13ου.
ΠΚ

Νομίζω ότι σε αυτό το σημείο το βιβλίο έχει απάντηση με την παράγραφο της ισότητας συναρτήσεων, αλλά για να το λέτε κάτι θα βλέπετε που δεν έχω εντοπίσει.

[Mihalis_Lambrou]

Και το καλύτερο. Ορίζεται η συνάρτηση σαν διαδικασία. Έχει ορισθεί πουθενά η έννοια διαδικασία;

Σωστά μεν αλλά μην δυσκολεύουμε τους μαθητές χωρίς λόγο.

Εννοώ το εξής:

Σε όλα τα Μαθηματικά υποθέτουμε ότι έχουμε μία κοινά αποδεκτή γλώσσα για να συνεννοούμεθα (στην Λογική ονομάζεται "μεταγλώσσα" ή "περιγραφική γλώσσα"). Πολλές φορές χρησιμοποιούμε τις λέξεις της μεταγλώσσας με την κοινή τους έννοια για να ορίσουμε αυστηρά κάποιους όρους των Μαθηματικών.

Για παράδειγμα λέμε: Δίνεται ένα τρίγωνο ...

Την λέξη "τρίγωνο" την ορίζουμε αυστηρά. Την λέξη "δίνεται" την παίρνουμε από την μεταγλώσσα.

Το ίδιο με το παραπάνω: Δεν είναι παράλογο να πάρουμε την λέξη "διαδικασία" από την μεταγλώσσα. Να ισχυριστούμε δηλαδή ότι συνάρτηση της μεταβλητής είναι μία ποσότητα (*) η οποία προκύπτει από "επεξεργασία" του .

Όλα αυτά επιτρέπονται (αν όχι επιβάλλονται) στα Σχολικά Μαθηματικά και σε σχεδόν όλα τα Πανεπιστημιακά. Αν θελήσουμε να κάνουμε απόλυτο φορμαλισμό, θα χάσουμε το παιχνίδι. Τον αφήνουμε για μαθήματα Λογικής που, όπως ο Russell στα Principia, αιτιολόγησε (σχεδόν) όλα τα σύμβολα και καινούργιες έννοιες αλλά χρειάστηκε κάπου σελίδες (κυριολεκτικά) για να αποδείξει .

Εν κατακλείδι, δεν είναι παράλογο να χρησιμοποιούμε την λέξη "διαδικασία" στον ορισμό της συνάρτησης, αρκεί να έχουμε σαφή εικόνα της έννοιας με την καθημερινή της σημασία. Άλλωστε κάνουμε κάτι ανάλογο σε σχεδόν όλους τους ορισμούς, και καλά κάνουμε.


(*) και την λέξη ποσότητα την παίρνω από την μεταγλώσσα χωρίς να την ορίσω αυστηρά.

[Παπαστεργίου Κώστας]

Ας μου επιτραπεί να κάνω ένα δεύτερο και τελευταίο σχόλιο, όχι για κανένα άλλο λόγο αλλά γιατί τέτοιες κουβέντες μπορεί να γίνουν ατέρμονες.

Συνάδελφε Christo N. Συμφωνώ ότι, ο ορισμός της ισότητας των συναρτήσεων, καλύπτει το μειονέκτημα των δυο διαδικασιών και που ανέφερα οι οποίες φαίνονται καταρχάς διαφορετικές. Όμως πρώτον πόσο αποδεκτός μπορεί να είναι ένας ορισμός που αφήνει κενά, τα οποία πρέπει να καλύπτει ένας άλλος ορισμός; Δεύτερον ας πάρουμε τη διαδικασία: " Ένας αριθμός αντιστοιχίζεται στο πλήθος των 7 που υπάρχουν μεταξύ των ψηφίων του, αν αυτό είναι πεπερασμένο και στο π αν είναι άπειρο πχ. ο 3,57174 στο 2, ενώ ο 5,737373.... στο π". Με ποιο κριτήριο θα απορρίψουμε αυτή τη διαδικασία που δεν ξέρει που να αντιστοιχίσει τον αριθμό π;

Καλές οι εκλαϊκεύσεις και οι οποιεσδήποτε επινοήσεις κ Λάμπρου αλλά πριν τον ΟΡΙΣΜΟ για να προετοιμάσουν το έδαφος ή μετά, αν χρειάζεται, για περισσότερη κατανόηση. Δηλαδή να αγνοήσουμε τον Dedekind και να πούμε ότι συνεχής είναι μια συνάρτηση που γράφουμε τη γραφική της παράσταση μονοκοντυλιά ; Να αφήσουμε έναν τόσο απλό ορισμό της συνάρτησης, σαν ένα σύνολο ζευγών με μια απλή ιδιότητα και να επινοήσουμε ορισμούς του τύπου "μηχανές μοναδικής εξόδου σε κάθε επιτρεπτή είσοδο", 'Διαδικασίες", "Κανόνες" και δεν ξέρω τι άλλο; Έτσι δεν θα μπερδέψουμε τους μαθητές;

Επιτρέψτε μου να έχω τις απόψεις μου. Ένας σωστός ορισμός μπορεί μερικές φορές να μην είναι άμεσα κατανοητός. Δεν μπερδεύει όμως ποτέ.
Θα κοιτάξω με προσοχή το επόμενο σχόλιο σας αν έχετε την καλοσύνη. Διαφορετικά όλα καλά.
ΠΚ

[kalafatis_kon]

Ας μου επιτραπεί να κάνω ένα δεύτερο και τελευταίο σχόλιο, όχι για κανένα άλλο λόγο αλλά γιατί τέτοιες κουβέντες μπορεί να γίνουν ατέρμονες.

Συνάδελφε Christo N. Συμφωνώ ότι, ο ορισμός της ισότητας των συναρτήσεων, καλύπτει το μειονέκτημα των δυο διαδικασιών και που ανέφερα οι οποίες φαίνονται καταρχάς διαφορετικές. Όμως πρώτον πόσο αποδεκτός μπορεί να είναι ένας ορισμός που αφήνει κενά, τα οποία πρέπει να καλύπτει ένας άλλος ορισμός; Δεύτερον ας πάρουμε τη διαδικασία: " Ένας αριθμός αντιστοιχίζεται στο πλήθος των 7 που υπάρχουν μεταξύ των ψηφίων του, αν αυτό είναι πεπερασμένο και στο π αν είναι άπειρο πχ. ο 3,57174 στο 2, ενώ ο 5,737373.... στο π". Με ποιο κριτήριο θα απορρίψουμε αυτή τη διαδικασία που δεν ξέρει που να αντιστοιχίσει τον αριθμό π;

Καλές οι εκλαϊκεύσεις και οι οποιεσδήποτε επινοήσεις κ Λάμπρου αλλά πριν τον ΟΡΙΣΜΟ για να προετοιμάσουν το έδαφος ή μετά, αν χρειάζεται, για περισσότερη κατανόηση. Δηλαδή να αγνοήσουμε τον Dedekind και να πούμε ότι συνεχής είναι μια συνάρτηση που γράφουμε τη γραφική της παράσταση μονοκοντυλιά ; Να αφήσουμε έναν τόσο απλό ορισμό της συνάρτησης, σαν ένα σύνολο ζευγών με μια απλή ιδιότητα και να επινοήσουμε ορισμούς του τύπου "μηχανές μοναδικής εξόδου σε κάθε επιτρεπτή είσοδο", 'Διαδικασίες", "Κανόνες" και δεν ξέρω τι άλλο; Έτσι δεν θα μπερδέψουμε τους μαθητές;

Επιτρέψτε μου να έχω τις απόψεις μου. Ένας σωστός ορισμός μπορεί μερικές φορές να μην είναι άμεσα κατανοητός. Δεν μπερδεύει όμως ποτέ.
Θα κοιτάξω με προσοχή το επόμενο σχόλιο σας αν έχετε την καλοσύνη. Διαφορετικά όλα καλά.
ΠΚ

Αγαπητέ συνάδελφε χωρίς να θέλω να υπερασπιστώ τα σχολικά εγχειρίδια διαβάζοντας την ανάρτηση αισθάνθηκα την ανάγκη να πω δυό λόγια. Για το θέμα που θέτεις, στον ορισμό της συνάρτησης, η έννοια "διαδικασία" παρμένη από την μεταγλώσσα όπως αναφέρθηκε πριν καλύπτει. Το παράδειγμα που αναφέρεις είναι ατυχές γιατί δεν έχεις λάβει υπόψιν το "για κάθε" όταν δίνεις την διαδικασία γνωρίζεις ότι υπάρχει το π άρα για να ικανοποιήσεις το "για κάθε" πρέπει να προνοήσεις και για το π. Δεν υπάρχει πρόβλημα στην κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης από τον ορισμό που δίνεται. Αλλού είναι τα προβλήματα για παράδειγμα θα αναφέρω την υποβάθμιση της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ιστορικά απαραίτητο τμήμα των Μαθηματικών για να φτάσουμε στον Απειροστικό λογισμό. Η γενική κουλτούρα και καλλιέργεια που προσφέρει αυτή δεν θα επέτρεπε να γίνονται από μαθητές τόσα σοβαρά λάθη που βλέπουμε στα σχολικά αλλά και πανεπιστημιακά γραπτά. Άλλωστε η μελέτη των κλασσικών οδήγησε στην ανακάλυψη (17ο-18ο αιώνα) οι μαθητές μας γιατί θα πρέπει να χάσουν την μελέτη αυτή;