Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

#1

Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία.

$\displaystyle{f(x) = (x - \sin x)(\pi - x - \sin x),{\rm{ x}} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$

(πηγή "Αλγεβρικά θέματα- Παναγιώτης Μάγειρας")

KARKAR · #2

: αύξουσα.png (49.31 KiB) Προβλήθηκε 1540 φορές

Είναι : $f'(x)=\pi-\pi cosx-2x+2sinxcosx$ . Προφανώς $f'(0)=f'(\dfrac{\pi}{2})=0$ .

Οι ρίζες αυτές είναι διαδοχικές * , συνεπώς η παράγωγος διατηρεί πρόσημο στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ ,

το οποίο εύκολα προκύπτει ότι είναι το "+"

. Άρα η

είναι γν. αύξουσα στο $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ .

* Προφανώς η διαδοχικότητα των ριζών είναι το πρόβλημα

nikkru · #3

chris_gatos έγραψε:Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία.

$\displaystyle{f(x) = (x - \sin x)(\pi - x - \sin x),{\rm{ x}} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$

(πηγή "Αλγεβρικά θέματα- Παναγιώτης Μάγειρας")

KARKAR έγραψε:αύξουσα.png Είναι : $f'(x)=\pi-\pi cosx-2x+2sinxcosx$ . Προφανώς $f'(0)=f'(\dfrac{\pi}{2})=0$ .

Οι ρίζες αυτές είναι διαδοχικές * , συνεπώς η παράγωγος διατηρεί πρόσημο στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ ,

το οποίο εύκολα προκύπτει ότι είναι το . Άρα η είναι γν. αύξουσα στο $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ .

* Προφανώς η διαδοχικότητα των ριζών είναι το πρόβλημα

Για την μη ύπαρξης ρίζας της πρώτης παραγώγου στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ έχουμε:

$f ' ' (x)=\pi sinx-2+2cos^2x-2sin^2x=$ $\pi sinx-2(1-cos^2x)-2sin^2x=sinx(\pi -4sinx)$ .

Η f''(x)=0

έχει μοναδική ρίζα στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ την x_o

για την οποία $sinx_o=\dfrac{\pi}{4}$ και πρόσημα "+"

στο

και

στο $(x_o.\dfrac{\pi}{2})$ .

Και αφού $f'(0)=f'(\dfrac{\pi}{2})=0$ , η f'(x)=0

δεν έχει ρίζες στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ .

#4

Καλησπέρα!

nikkru έγραψε:
Για την μοναδικότητα της ρίζας της πρώτης παραγώγου στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ έχουμε:

$f ' ' (x)=\pi sinx-2+2cos^2x-2sin^2x=$ $\pi sinx-2(1-cos^2x)-2sin^2x=sinx(\pi -4sinx)$ .

Η έχει μοναδική ρίζα στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ την για την οποία $sinx_o=\dfrac{\pi}{4}$ και πρόσημα στο και στο $(x_o.\dfrac{\pi}{2})$ .

Και αφού $f'(0)=f'(\dfrac{\pi}{2})=0$ , η δεν έχει ρίζες στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ .

Δε βλέπω τη μοναδικότητα της ρίζας,συμπαθάτε με! Και η δική μου λύση είναι με παραγώγους. Θα τη γράψω σε λίγο. Την άσκηση την ανέβασα περισσότερο μήπως και υπάρξει κάποια σκέψη χωρίς αυτό το εργαλείο!

#5

Η $\displaystyle{f''}$ έχει μοναδική ρίζα $\displaystyle{{x_0} \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ για την οποία $\displaystyle{f({x_0}) = \frac{\pi }{4}}$

Αν η $\displaystyle{{f'}}$ έχει ρίζα $\displaystyle{{\xi \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ τότε επειδή $\displaystyle{f'(0) = f'(\xi ) = f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0},$ από Rolle η $\displaystyle{f''}$ θα έχει τουλάχιστον

μία ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{(0,\xi ),\left( {\xi,\frac{\pi }{2}} \right)}$ που είναι άτοπο. Άρα η

διατηρεί πρόσημο κλπ...

nikkru · #6

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα!
nikkru έγραψε:
Για την μοναδικότητα της ρίζας της πρώτης παραγώγου στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ έχουμε:

$f ' ' (x)=\pi sinx-2+2cos^2x-2sin^2x=$ $\pi sinx-2(1-cos^2x)-2sin^2x=sinx(\pi -4sinx)$ .

Η έχει μοναδική ρίζα στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ την για την οποία $sinx_o=\dfrac{\pi}{4}$ και πρόσημα στο και στο $(x_o.\dfrac{\pi}{2})$ .

Και αφού $f'(0)=f'(\dfrac{\pi}{2})=0$ , η δεν έχει ρίζες στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ .
Δε βλέπω τη μοναδικότητα της ρίζας,συμπαθάτε με! Και η δική μου λύση είναι με παραγώγους. Θα τη γράψω σε λίγο. Την άσκηση την ανέβασα περισσότερο μήπως και υπάρξει κάποια σκέψη χωρίς αυτό το εργαλείο!

Καλό απόγευμα

Εκ παραδρομής έγραψα "μοναδικότητα της ρίζας" αντί του ορθού " μη ύπαρξης ρίζας" όπως ορθά παρατήρησε ο Χρήστος,
το διόρθωσα και στην αρχική μου ανάρτηση.

Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

Re: Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

Re: Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

Re: Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

Re: Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

Re: Μελέτη μονοτονίας συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση