συναρτησιακή και αντίστροφη

hsiodos · #1

Καλησπέρα

Το θέμα που ακολουθεί γενικά είναι γνωστό και παρόμοια έχουν απασχολήσει στο παρελθόν με τον ένα ή άλλο τρόπο το φόρουμ.
Αξίζει όμως , νομίζω, να το ξαναδούμε κυρίως για το α ερώτημα:

Άσκηση

Έστω συνάρτηση f που πληρεί την σχέση $\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της .

β) Χωρίς να ληφθεί υπόψη το α) ερώτημα και με επιπλέον δεδομένο ότι η f είναι συνεχής στο R να βρείτε το σύνολο των τιμών της .

σχόλιο

Η συνέχεια της f μπορεί να αποδειχθεί με την βοήθεια της (1) αλλά δίνεται για ευκολία.

konkyr · #2

Kαλησπέρα.Έχουμε:

α) $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow ...\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ άρα αντιστρέφεται.Θέτω ψ=f(x) και είναι $y^{3}+y=2e^{x}$ , όπου πρέπει y>0.
Άρα $x=ln(\frac{y^{3}+y}{2})$ οπότε $f^{-1}(x)=ln(\frac{x^{3}+x}{2})$ με y >ο.

β) $f(x)(f^{2}(x)+1)=2e^{x}\Rightarrow |f(x)|=|\frac{2e^{x}}{f^{2}(x)+1}|\leq 2e^{x}$ .Άρα $-2e^{x}\leq f(x)$ kai $f(x)\leq 2e^{x}$

Επειδή $\lim_{x->-\propto }-2e^{x}=0 , \lim_{x->+\propto }2e^{x}=+\propto$ από γνωστή πρόταση προκύπτει $\lim_{x->-\propto }f(x)=0 , \lim_{x->+\propto }f(x)=+\propto$ και αφού f συνεχής sto R το σύνολο τιμών τησ είναι το (0,+00)

#3

Δεν βλέπω γιατί $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}$

#4

konkyr έγραψε:Kαλησπέρα.Έχουμε:

α) $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow ...\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ άρα αντιστρέφεται.Θέτω ψ=f(x) και είναι $y^{3}+y=2e^{x}$ , όπου πρέπει y>0.
Άρα $x=ln(\frac{y^{3}+y}{2})$ οπότε $f^{-1}(x)=ln(\frac{x^{3}+x}{2})$ με y >ο.

β) $f(x)(f^{2}(x)+1)=2e^{x}\Rightarrow |f(x)|=|\frac{2e^{x}}{f^{2}(x)+1}|\leq 2e^{x}$ .Άρα $-2e^{x}\leq f(x)$ kai $f(x)\leq 2e^{x}$

Επειδή $\lim_{x->-\propto }-2e^{x}=0 , \lim_{x->+\propto }2e^{x}=+\propto$ από γνωστή πρόταση προκύπτει $\lim_{x->-\propto }f(x)=0 , \lim_{x->+\propto }f(x)=+\propto$ και αφού f συνεχής sto R το σύνολο τιμών τησ είναι το (0,+00)

Έχει δουλειά και παγίδες αυτό το θέμα και δεν είναι τόσο απλό !

Μπάμπης

konkyr · #5

Έχετε απόλυτο δικιο αυτο που εγραψα είναι λάθος και για το +00 και για το μηδεν.Καλα να πάθω αφου γράφω βιαστικά και επιπόλαια .Θα την ξαναπροσπαθήσω

#6

R BORIS έγραψε:Δεν βλέπω γιατί $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}$

f*[f^2 + 1] = 2e^x > 0, αρα f θετικη για καθε x

f^4 + 1 > f^3 + f = 2e^x, αρα f > [2e^x - 1]^1/4, κλπ

[Δεν ασχοληθηκα με το υπολοιπο της λυσης.]

Γιωργος Μπαλογλου

Α.Κυριακόπουλος · #7

hsiodos έγραψε:Καλησπέρα

Το θέμα που ακολουθεί γενικά είναι γνωστό και παρόμοια έχουν απασχολήσει στο παρελθόν με τον ένα ή άλλο τρόπο το φόρουμ.
Αξίζει όμως , νομίζω, να το ξαναδούμε κυρίως για το α ερώτημα:

Άσκηση

Έστω συνάρτηση f που πληρεί την σχέση $\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της .

β) Χωρίς να ληφθεί υπόψη το α) ερώτημα και με επιπλέον δεδομένο ότι η f είναι συνεχής στο R να βρείτε το σύνολο των τιμών της .

σχόλιο

Η συνέχεια της f μπορεί να αποδειχθεί με την βοήθεια της (1) αλλά δίνεται για ευκολία.

Στο πρώτο ερώτημα θα βρούμε την αντίστροφη της συνάρτησης f. Αυτό σημαίνει ότι προηγούμενους θα πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών της f ( αφού αυτό θα είναι το σύνολο ορισμού της αντιστρόφου). Το δεύτερο ερώτημα τι νόημα έχει;

hsiodos · #8

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
hsiodos έγραψε:Καλησπέρα

Το θέμα που ακολουθεί γενικά είναι γνωστό και παρόμοια έχουν απασχολήσει στο παρελθόν με τον ένα ή άλλο τρόπο το φόρουμ.
Αξίζει όμως , νομίζω, να το ξαναδούμε κυρίως για το α ερώτημα:

Άσκηση

Έστω συνάρτηση f που πληρεί την σχέση $\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της .

β) Χωρίς να ληφθεί υπόψη το α) ερώτημα και με επιπλέον δεδομένο ότι η f είναι συνεχής στο R να βρείτε το σύνολο των τιμών της .

σχόλιο

Η συνέχεια της f μπορεί να αποδειχθεί με την βοήθεια της (1) αλλά δίνεται για ευκολία.
Στο πρώτο ερώτημα θα βρούμε την αντίστροφη της συνάρτησης f. Αυτό σημαίνει ότι προηγούμενους θα πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών της f ( αφού αυτό θα είναι το σύνολο ορισμού της αντιστρόφου). Το δεύτερο ερώτημα τι νόημα έχει;

Καλημέρα

Κύριε Αντώνη ακριβώς για τον λόγο αυτό γράφω να μην ληφθεί υπόψη το α) ερώτημα. Δεν ήθελα να το δώσω σαν ξεχωριστή άσκηση απλά να γίνει συζήτηση.Να δούμε ότι σε τέτοιες σχέσεις -με δεδομένη όμως την συνέχεια της f- μπορούμε να βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f χωρίς να έχουμε βρει πρώτα την αντίστροφη. (εξάσκηση και στα όρια κλπ)
Φυσικά αν επρόκειτο για άσκηση που θα δίνονταν σαν θέμα η δομή και διατύπωση της θα έπρεπε να ήταν διαφορετική.

Με εκτίμηση

Γιώργος

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #9

Άριστο θέμα και δέχεται πολλά ερωτήματα.
Εκανα τις διορθώσεις που προτεινε ο κ. Κυριακόπουλος

Α.Κυριακόπουλος · #10

hsiodos έγραψε: Κύριε Αντώνη ακριβώς για τον λόγο αυτό γράφω να μην ληφθεί υπόψη το α) ερώτημα. Δεν ήθελα να το δώσω σαν ξεχωριστή άσκηση απλά να γίνει συζήτηση.Να δούμε ότι σε τέτοιες σχέσεις -με δεδομένη όμως την συνέχεια της f- μπορούμε να βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f χωρίς να έχουμε βρει πρώτα την αντίστροφη. (εξάσκηση και στα όρια κλπ)
Φυσικά αν επρόκειτο για άσκηση που θα δίνονταν σαν θέμα η δομή και διατύπωση της θα έπρεπε να ήταν διαφορετική.
Με εκτίμηση
Γιώργος

Αγαπητέ Γιώργο.
Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι πρώτα βρίσκουμε το σύνολο τιμών και μετά την αντίστροφη.
• Για να βρω την αντίστροφη μιας συνάρτηση f( αν αντιστρέφεται) :
Πρώτα βρίσκω το σύνολο τιμών της f ,που είναι το σύνολο ορισμού της αντιστρόφου και μετά βρίσκω τον τύπο της. Διαφορετικά, όταν πάω να λύσω την y=f(x) ως προς x δεν θα ξέρω για ποια y ισχύουν οι σχέσεις που θα γράψω. Καταλαβαίνεις λοιπόν ότι είναι λάθος να βρίσκουμε πρώτα τον τύπο της αντιστρόφου και μετά το σύνολο ορισμού της!!!
•Το σύνολο τιμών μπορούμε να το βρούμε (αν βρίσκεται) ανεξάρτητα αν θα συνεχίσουμε για την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης ( αν αντιστρέφεται).
Με εκτίμηση και αγάπη.

#11

hsiodos έγραψε:Καλησπέρα

Το θέμα που ακολουθεί γενικά είναι γνωστό και παρόμοια έχουν απασχολήσει στο παρελθόν με τον ένα ή άλλο τρόπο το φόρουμ.
Αξίζει όμως , νομίζω, να το ξαναδούμε κυρίως για το α ερώτημα:

Άσκηση

Έστω συνάρτηση f που πληρεί την σχέση $\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της .

β) Χωρίς να ληφθεί υπόψη το α) ερώτημα και με επιπλέον δεδομένο ότι η f είναι συνεχής στο R να βρείτε το σύνολο των τιμών της .

σχόλιο

Η συνέχεια της f μπορεί να αποδειχθεί με την βοήθεια της (1) αλλά δίνεται για ευκολία.

Λυνεται πολυ γρηγορα ,(στελνω μια ομοια ).Βεβαια λυνεται και ποιο κλασικα αλλα εχει πολλες πραξεις.

Α.Κυριακόπουλος · #12

Αγαπητέ Δημήτρη (Κατσιπόδα).
Στο συνημμένο γράφεις:
« Έστω $\displaystyle{{y_0} \in R}$ τότε $\displaystyle{\left( {y_0^3 + {y_0}} \right) \in R}$ άρα υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in R}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{y_0^3 + {y_0} = 2{e^{{x_0}}}}$ .»(1)
Θα μου επιτρέψετε να σου πω ότι αυτό δεν είναι σωστό όταν το $\displaystyle{{y_0}}$ είναι αρνητικό ή μηδέν. Δηλαδή η παραπάνω πρόταση (1) είναι ψευδής .Θα μου πεις: «παρακάτω βγάζω $\displaystyle{{y_0} > 0}$ ». Ναι αλλά το βγάζεις στηριζόμενος στην παραπάνω πρόταση (1) που είναι ψευδής.
Λοιπόν Δημήτρη. Κατά τη γνώμη μου, το σωστό είναι να πούμε : «με $\displaystyle{{y_0} \in R}$ εξετάζουμε το πρόσημο του αριθμού $\displaystyle{y_0^3 + {y_0}}$ και μετά να πούμε ότι μόνο για $\displaystyle{{y_0} > 0}$ υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in R}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{y_0^3 + {y_0} = 2{e^{{x_0}}}}$ ,αφού $\displaystyle{2{e^{{x_0}}} > 0}$ ». Ή να πούμε: « εξετάζουμε για ποιους αριθμούς $\displaystyle{{y_0} \in R}$ υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in R}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{y_0^3 + {y_0} = 2{e^{{x_0}}}}$ »κτλ.
Με εκτίμηση.

#13

Σας στελνω μια μεθοδολογια για την ευρεση 1-1.
Καθε σχολιο δεκτο.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #14

Έχετε απόλυτο δίκιο κύριε Κυριακόπουλε. Σας ευχαριστώ για την υπόδειξή σας, θα το διορθώσω.Κάθε παρατήρηση σας δεκτή.

hsiodos · #15

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
hsiodos έγραψε: Κύριε Αντώνη ακριβώς για τον λόγο αυτό γράφω να μην ληφθεί υπόψη το α) ερώτημα. Δεν ήθελα να το δώσω σαν ξεχωριστή άσκηση απλά να γίνει συζήτηση.Να δούμε ότι σε τέτοιες σχέσεις -με δεδομένη όμως την συνέχεια της f- μπορούμε να βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f χωρίς να έχουμε βρει πρώτα την αντίστροφη. (εξάσκηση και στα όρια κλπ)
Φυσικά αν επρόκειτο για άσκηση που θα δίνονταν σαν θέμα η δομή και διατύπωση της θα έπρεπε να ήταν διαφορετική.
Με εκτίμηση
Γιώργος
Αγαπητέ Γιώργο.
Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι πρώτα βρίσκουμε το σύνολο τιμών και μετά την αντίστροφη.
• Για να βρω την αντίστροφη μιας συνάρτηση f( αν αντιστρέφεται) :
Πρώτα βρίσκω το σύνολο τιμών της f ,που είναι το σύνολο ορισμού της αντιστρόφου και μετά βρίσκω τον τύπο της. Διαφορετικά, όταν πάω να λύσω την y=f(x) ως προς x δεν θα ξέρω για ποια y ισχύουν οι σχέσεις που θα γράψω. Καταλαβαίνεις λοιπόν ότι είναι λάθος να βρίσκουμε πρώτα τον τύπο της αντιστρόφου και μετά το σύνολο ορισμού της!!!
•Το σύνολο τιμών μπορούμε να το βρούμε (αν βρίσκεται) ανεξάρτητα αν θα συνεχίσουμε για την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης ( αν αντιστρέφεται).
Με εκτίμηση και αγάπη.

Καλησπέρα

Κύριε Αντώνη συμφωνούμε απολύτως.. Αυτά που επισημαίνετε τα γνωρίζω και σε αυτό έχετε βοηθήσει και εσείς με τα κείμενά σας.
Επειδή λοιπόν στο α) ερώτημα έχουμε βρει την αντίστροφη(και βρίσκω συνάρτηση σημαίνει προσδιορίζω το σύνολο ορισμού της και μετά τον τύπο της) το β) ερώτημα δεν θα είχε νόημα αφού ζητά το σύνολο τιμών της f δηλαδή το πεδίο ορισμού της αντίστροφης που έχει ήδη βρεθεί. Ακριβώς γιαυτό γράφω να αγνοηθεί το α) ερώτημα ώστε το σύνολο τιμών της f να βρεθεί με άλλο τρόπο χωρίς την εμπλοκή της αντίστροφης.

Με εκτίμηση

Γιώργος

ΥΓ. Ευχαριστώ τους συνάδελφους που ασχολήθηκαν με το θέμα αν και δεν έχω προλάβει να δω ακόμα όλες τις απαντήσεις.

#16

Αυτού του είδους οι ασκήσεις έχουν μια μακριά και πικρή παράδοση. Στη δεκαετία 1985- 1995 κυκλοφορούσαν ''λύσεις '' που ήταν σχεδόν όλες λάθος. Με απασχόλησε ωστόσο το θέμα σοβαρά και δαπάνησα αρκετές ώρες για να ξεκαθαρίσω το ζήτημα το 1996 , όταν έγραφα το βιβλίο : Ανάλυση 1 (αυτό που ήταν σε μικρό μέγεθος). Εκεί, στην άσκηση 5.64 και στη σελίδα 133 είχα δώσει μια άσκηση . Στην υπόδειξη δίνω τη λύση, όπως την κάνουμε σήμερα .

Αρκετά χρόνια αργότερα και στο Γ-1, έχω βάλει αρκετές τέτοιες ασκήσεις. Μία είναι η 6.46 και στην υπόδειξη δίνεται ολόκληρη η λύση. Όμως , επειδή γηράσκουμε αεί διδασκόμενοι, από τότε έχω βρει και άλλους τρόπους που τους έχω ενσωματώσει στις λύσεις των ασκήσεων , κυρίως στις επαναληπτικές. Με χρήση παραγώγων , το θέμα λύνεται πολύ πιο απλά και σε όλες τις αντίστοιχες περιπρώσεις, όχι μόνο για τριτοβάθμιες σχέσεις.

Μια φορά , πριν από αρκετά χρόνια,είχαν τεθεί και στον Ευκλείδη Β΄μερικές τέτοιες ασκήσεις με τις ''λύσεις'' τους. Όλως περιέργως ,ξέφυγαν από την επιτροπή σύνταξης και οι λύσεις ήταν λάθος (ελλειπείς δηλαδή στο σκέλος που αφορούσε το σύνολο τιμών).
Μια προσπάθεια να περάσω μια εργασία με όλες τις λαθεμένες λύσεις και μερικές νέες ιδέες, κάπου σκάλωσε στον Ευκλείδη Β΄.
Κάποια άλλη φορά έτυχε στο βιβλιοπωλείο του Σαββάλα να συναντήσω το συνάδελφο και Σχολικό σύμβουλο Ηλία Αργυρόπουλο, όπου κουβεντιάσαμε το θέμα και προσθέσαμε στην άσκηση όλα τα σχετικά ερωτήματα : συνέχεια, παραγωγισιμότητα, μερικές σχέσεις με ολοκληρώματα κλπ.Σήμερα το θέμα έχει πλήρως αναλυθεί και ξεκαθαρίσει και σε αυτό συνέβαλαν με τρόπο τους πολλοί συνάδελφοι, είτε συγγραφείς είτε αρθρογράφοι.

Αυτά για την ιστορία ! Όταν κοιτάζει κανείς προς τα πίσω, βλέπει πως η πρόοδος είναι αναπόσπαστο κομάτι της επιστήμης. Τώρα όλα μοιάζουν να είναι τόσο απλά και εύκολα, τότε όμως ήταν δύσκολα. Η σημαντικότερη παράμετρος που άλλαξε είναι η επικοινωνία. Αν σκεφτείτε ότι στο mathematica έχουμε εξαντλήσει παλαιότερα αυτό το θέμα και από την άλλη μεριά αναλογιστείτε πόσοι μας παρακολουθούν, καταλαβαίνετε γιατί σήμερα οι περισσότεροι συνάδλφοι είναι σωστά ενημερωμένοι και τα λάθη περιορίζονται.
Όπως λέει και ο φίλος μας Α. Κυριακόπουλος, σήμερα που υπάρχει το mathematica μόνο όποιος δεν θέλει να μάθει θα μείνει μέτριος . Ασπάζομαι απόλυτα τη γνώμη του.

Μπάμπης

Α.Κυριακόπουλος · #17

hsiodos έγραψε: Καλησπέρα
Κύριε Αντώνη συμφωνούμε απολύτως.. Αυτά που επισημαίνετε τα γνωρίζω και σε αυτό έχετε βοηθήσει και εσείς με τα κείμενά σας.
Επειδή λοιπόν στο α) ερώτημα έχουμε βρει την αντίστροφη(και βρίσκω συνάρτηση σημαίνει προσδιορίζω το σύνολο ορισμού της και μετά τον τύπο της) το β) ερώτημα δεν θα είχε νόημα αφού ζητά το σύνολο τιμών της f δηλαδή το πεδίο ορισμού της αντίστροφης που έχει ήδη βρεθεί. Ακριβώς γιαυτό γράφω να αγνοηθεί το α) ερώτημα ώστε το σύνολο τιμών της f να βρεθεί με άλλο τρόπο χωρίς την εμπλοκή της αντίστροφης.
Με εκτίμηση
Γιώργος

Αγαπητέ Γιώργο.
• Στην εύρεση του σύνολο τιμών πουθενά δεν υπάρχει εμπλοκή της αντίστροφης συνάρτησης. Την αντίστροφη συνάρτηση τη βρίσκουμε μετά και επομένως δεν την έχουμε στο μυαλό μας όταν βρίσκουμε το σύνολο τιμών. Δεν υπάρχει λοιπόν καμία εμπλοκή της αντίστροφης συνάρτησης.
• Στο δεύτερο ερώτημα γιατί να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής( ή να το αποδείξουμε), αφού μπορούμε να βρούμε το σύνολο τιμών χωρίς αυτή την υπόθεση.
Με εκτίμηση.

Α.Κυριακόπουλος · #18

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Σας στελνω μια μεθοδολογια για την ευρεση 1-1.
Καθε σχολιο δεκτο.

Αγαπητέ Κώστα.
Όταν κάποιος δημοσιεύει κάτι, να είναι προετοιμασμένος να υποστεί την κριτική των άλλων ,είτε το θέλει είτε όχι. Σε κάθε μαθηματικό περιοδικό, για να δημοσιευτεί κάτι πρέπει να εγκριθεί από κάποια επιτροπή. Επειδή στο mathematica αυτό δεν μπορεί να γίνει, η αντίστοιχη επιτροπή είναι η κριτική των άλλων. Και αυτό είναι το όφελος των μελών του χώρου αυτού, γιατί ο ένας μαθαίνει από τον άλλον. Οι εγωισμοί εδώ δεν έχουν θέση. Αν κάποιος δεν θέλει να τον κρίνουν, ας μη δημοσιεύσει τίποτα. Κανένας δεν μας υποχρεώνει να κάνουμε δημοσιεύσεις.
Αυτά απευθύνονται σε όλα τα μέλη του mathematica. Τα γράφω εδώ, γιατί πείρα αφορμή από αυτό που γράφεις, ότι δηλαδή: « κάθε σχόλιο δεκτό». Αυτό που γράφεις σε τιμά γιατί ,κατά τη γνώμη μου, τονίζεις αυτά που γράφω παραπάνω, με το δικό σου τρόπο.

Με εκτίμηση.

Βασίλης Καλαμάτας · #19

Εξαιρετικές, όπως πάντα, οι απόψεις που κατατέθηκαν από τους περισσότερους συναδέλφους πάνω στο ευαίσθητο αυτό θέμα. Να γράψω και τη δική μου...

1. Συνηθίζω στα θέματα της αντίστροφης συνάρτησης, να λέω στους μαθητές ότι έχουμε τρεις διαφορετικές εκφωνήσεις:
Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

αντιστρέφεται.
Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}(x)$ .
Γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ .

2. Στα θέματα με συναρτησιακή σχέση, όπως αυτό που ξεκίνησε το συγκεκριμμένο θέμα, το ζητάω συνήθως ως εξής:
Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}(x)$ .
ΣΧΟΛΙΟ: Στο δεύτερο θέμα των εξετάσεων του 2006, ενώ είχαμε μάλιστα τον τύπο της συνάρτησης, από τους υποψηφίους ζητήθηκε να βρουν μόνον τον τύπο της αντίστροφης.
ή
Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ , έχοντας όμως δώσει στα δεδομένα το σύνολο τιμών της συνάρτησης

.
ΣΧΟΛΙΟ: Γνωρίζω ότι πολλοί συνάδελφοι έχουν την άποψη, ότι αφού το σύνολο τιμών μπορεί να προκύψει από τα δεδομένα δεν πρέπει να δοθεί. Σύμφωνα με τη δική μου άποψη όμως, είναι δύσκολο να διδάξεις στους μαθητές τεχνικές όπως αυτές που ήδη έχουν αναφερθεί για την εύρεση του συνόλου τιμών στον συγκεκριμμένο τύπο άσκησης, που είναι μεν εξαιρετικές, αλλά και δύσκολες, ειδικά για ένα μαθητή...

Τα παραπάνω επαναλαμβάνω ότι είναι η προσωπική μου προσέγγιση σε ότι αφορά τον τρόπο διδασκαλίας της συγκεκριμμένης άσκησης και όχι σε ότι αφορά τον τρόπο λύσης, αυτόν άλλωστε τον κάλυψαν με μεγάλη ακρίβεια και κομψότητα συνάδελφοι που έχουν προηγηθεί... Οι όποιες παρατηρήσεις και ενστάσεις σας είναι κατανοητές...

Φιλικά....

Υ.Γ. Μου άρεσε πολύ ο τρόπος με τον οποίο προσέγγισε την εύρεση της αντίστροφης, ο συνάδελφος Κώστας Τηλέγραφος....

kika · #20

καλησπέρα σε όλους, επαναφέρω αυτήν την άσκηση:

Έστω συνάρτηση f που πληρεί την σχέση $\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$
να βρείτε το σύνολο των τιμών της .

πως βρίσκω το όριό της στο άπειρο?

ευχαριστώ.

συναρτησιακή και αντίστροφη

συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση