Όμορφη...Συνέχεια

chris · #1

Τη βρήκα, μου άρεσε και τη δίνω με την ελπίδα πάντα οτι δεν έχει συζητηθεί

Δίνεται η συνάρτηση

που είναι ορισμένη και συνεχής στο $\mathbb{R}$ με $f(x)\neq 0,\forall x\epsilon \mathbb{R}$ .
Αν ισχύει: f(2008)=1

,

και

$\displaystyle \frac{f(f(x))}{f(f(x)+2)}=\frac{f(f(x)+3)}{f(f(x)+1)},\forall x\epsilon \mathbb{R}$ τότε:

Α) Να δείξετε οτι $\displaystyle f(2)\cdot f(3)=f(4)\cdot f(5)$
B) Να δείξετε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\rho \epsilon \left[2,3 \right]$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3)$
Γ) Δείξτε οτι η

δεν είναι

Δ) Αν η

είναι γνησίως αυξουσα στο $\displaystyle [2008,2009]$ και $\displaystyle x_1,x_2\epsilon \left[2008,2009 \right]$ να δείξετε οτι υπάρχει ένα μοναδικό $\displaystyle x_0\epsilon \left[2008,2009 \right]$ τέτοιο ώστε : $\displaystyle 3f(x_0)=f(x_1)+2f(x_2)$

#2

Καταρχάς, λόγω συνέχειας και επειδή $\displaystyle{f(x)\ne 0}$ , $\displaystyle{f(2008)>0}$ , είναι $\displaystyle{f(x)>0}$ παντού.

Για το 1ο ερώτημα:

Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει $\displaystyle{q \in (2008,2009)}$ ώστε $\displaystyle{f(q)=2.}$

Θέτουμε τότε στη δοθείσα $\displaystyle{x=q}$ και προκύπτει η ζητούμενη.

Για το 2ο ερώτημα:

Αν $\displaystyle{f(2)=f(3)}$ τότε $\displaystyle{r=2}$ ή $\displaystyle{r=3}$ .
Ας είναι λοιπόν, $\displaystyle{f(2)\ne f(3).}$ Ας είναι π.χ. $\displaystyle{f(2)>f(3).}$ Τότε $\displaystyle{f(2)>\sqrt{f(2)f(3)}>f(3)}$ (εύκολο). Οπότε πάλι, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει $\displaystyle{\rho \in (2,3)}$ ώστε $\displaystyle{f(\rho)=\sqrt{f(2)f(3)}.}$

Για το 3ο ερώτημα:

Αν ήταν 1-1, ως συνεχής θα ήταν γνησίως μονότονη. Όμως από το 1) έχουμε

$\displaystyle{\frac{f(2)}{f(4)}=\frac{f(5)}{f(3)},}$ άτοπο. Αν f γνησίως αύξουσα, το αριστερό μέλος <1, ενώ το δεξί >1. Ομοίως η γνησίως φθίνουσα.

Για το 4ο ερώτημα:

Λόγω της μονοτονίας και επειδή $\displaystyle{x_{1},x_{2}\in [2008,2009]}$ , έχουμε

$\displaystyle{1=f(2008)\leq f(x_{1})\leq f(2009)=10}$

$\displaystyle{1=f(2008)\leq f(x_{2})\leq f(2009)=10}$ ,

άρα

$\displaystyle{1\leq \frac{f(x_{1})+2f(x_{2})}{3}\leq 10,}$ και το συμπέρασμα προκύπτει πάλι από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, σε συνδυασμό με τη μονοτονία της $\displaystyle{f.}$ (η περίπτωση της ισότητας είναι απλή.)

chris · #3

Θάνο ευχαριστώ...

Να πω οτι το Β) το έχω με Bolzano ενώ για το Γ) για να μην καταφύγουμε στη μονοτονία που θέλει αποδείξη (πιθανόν) να δώσω κάτι άλλο:

Απο το Β) ερώτημα έχουμε:
$\displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3),\rho \epsilon \left[2,3 \right]$
Ομοίως:
$\displaystyle f^2(k )=f(4)\cdot f(5),k \epsilon \left[4,5 \right]$

Άρα λόγω του Α) είναι $f^2(k )=f^2(\rho )\Leftrightarrow f(k)=f(\rho ) \left[f(x)>0,\forall x\epsilon \mathbb{R} \right]$
Επειδή $k\neq \rho$ αφού $\rho \epsilon \left[2,3 \right]$ και $k \epsilon \left[4,5 \right]$ έπεται η

δεν είναι

.

#4

chris έγραψε:Θάνο ευχαριστώ...

... ενώ για το Γ) για να μην καταφύγουμε στη μονοτονία που θέλει αποδείξη (πιθανόν) να δώσω κάτι άλλο:

Απο το Β) ερώτημα έχουμε:
$\displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3),\rho \epsilon \left[2,3 \right]$
Ομοίως:
$\displaystyle f^2(k )=f(4)\cdot f(5),k \epsilon \left[4,5 \right]$

Άρα λόγω του Α) είναι $f^2(k )=f^2(\rho )\Leftrightarrow f(k)=f(\rho ) \left[f(x)>0,\forall x\epsilon \mathbb{R} \right]$
Επειδή $k\neq \rho$ αφού $\rho \epsilon \left[2,3 \right]$ και $k \epsilon \left[4,5 \right]$ έπεται η δεν είναι .

Φυσικά, έχεις δίκιο Chris. Η πρόταση χρησιμοποιήθηκε παρανόμως. Δεν περιέχεται στο σχολικό βιβλίο. Πολύ καλύτερα με τον δικό σου τρόπο.

Πάντως, ωραία άσκηση!

Όμορφη...Συνέχεια

Όμορφη...Συνέχεια

Re: Όμορφη...Συνέχεια

Re: Όμορφη...Συνέχεια

Re: Όμορφη...Συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση