αντίστροφη και συνέχεια

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ η οποία έχει σύνολο τιμών το R και για την οποία ισχύει για κάθε $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ ότι $\displaystyle{\left| {f(\alpha ) - f(\beta )} \right| \ge \left| {\alpha - \beta } \right|}$ .
Να δειχθεί ότι:
1. ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ .
2. Η $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ είναι συνεχής.
Θωμάς

#2

Αποδεικνύουμε ότι η συναρτηση είναι 1-1.
Πράγματι, αν $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(a)=f(b),}$ από τη δοθείσα προκύπτει

$\displaystyle{\left|a-b\right|\leq 0}$ , άρα $\displaystyle{a=b.}$

Επειδή η συνάρτηση είναι επί του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}$ θα υπάρχουν $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{f(a)=x,f(b)=y}$ δηλαδή

$\displaystyle{a=f^{-1}(x),b=f^{-1}(y).}$

Τότε, η αρχική σχέση γράφεται

$\displaystyle{\left|f^{-1}(x)-f^{-1}(y) \right|\leq \left|x-y \right|.}$

Αφήνοντας το $\displaystyle{x}$ να τείνει στο $\displaystyle{y}$ και με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\lim _{x\rightarrow y}f^{-1}(x)=f^{-1}(y)}$

δηλαδή το ζητούμενο.

#3

Αν f(α)=f(b) τότε:

$\displaystyle{ 0 \ge |a - b| \Rightarrow a = b }$

αρα η f είναι 1-1 συνεπώς αντιστρέψιμη.

Αν f(α)=κ1 f(b)=κ2 τότε:

$\displaystyle{ f^{ - 1} (\kappa _1 ) = a,f^{ - 1} (\kappa _2 ) = b }$

Αρα η αρχική γίνεται:

$\displaystyle{ |f^{ - 1} (\kappa _1 ) - f^{ - 1} (\kappa _2 )| \le |\kappa _1 - \kappa _2 | \Rightarrow - |\kappa _1 - \kappa _2 | \le f^{ - 1} (\kappa _1 ) - f^{ - 1} (\kappa _2 ) \le |\kappa _1 - \kappa _2 | }$

Σταθεροποιώντας το κ2, τότε για κ1->κ2 έχω:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{\kappa _1 \to \kappa _2 } ( - |\kappa _1 - \kappa _2 |) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{\kappa _1 \to \kappa _2 } (|\kappa _1 - \kappa _2 |) = 0 \\ \end{array} }$

αρα θα είναι και:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{\kappa _1 \to \kappa _2 } (f^{ - 1} (\kappa _1 ) - f^{ - 1} (\kappa _2 )) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\kappa _1 \to \kappa _2 } (f^{ - 1} (\kappa _1 ) = f^{ - 1} (\kappa _2 ) }$

συνεπώς η αντίστροφη είναι συνεχής στο τυχαίο κ2 αρα και σε όλο το R.

αντίστροφη και συνέχεια

αντίστροφη και συνέχεια

Re: αντίστροφη και συνέχεια

Re: αντίστροφη και συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση