Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Μια άσκηση γνωστή σε όλους μας (αφού νομίζω υπάρχει στα ΚΕΕ) απλά τις πρόσθεσα εξτρά ερωτήματα που παρουσιάζουν κατά την γνώμη ένα ενδιαφέρον:

Ένα ιδιαίτερο θέμα από 1 – 1 και αντίστροφη συνάρτηση

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}}$

α. Βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1
γ. Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση της f, αν υπάρχει.
δ. Βρείτε την συνάρτηση: $\displaystyle{\underbrace {fofo...of}_{2010}}$

Νασιούλας Αντώνης · #2

a.

β) Γράφω τη f ως δίκλαδη: $f(x)=\frac{x}{1+\left|x\right|}\Rightarrow f(x)= \begin{cases} \frac{x}{1+x} & \text{ if } x\geq 0 \\ \frac{x}{1-x} & \text{ if } x<0 \end{cases}$
Για $x\geq 0$ : $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow\frac{x_1}{1+x_1}=\frac{x_2}{1+x_2}\Rightarrow x_1+x_1x_2=x_2+x_1x_2\Rightarrow x_1=x_2$ άρα, "1-1"

$y=\frac{x}{1+x}\Leftrightarrow y=x-xy\Leftrightarrow y=x(1-y)\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-y}$ , $y\neq 1$
$x\geq0\Rightarrow \frac{y}{1-y}\geq0\Rightarrow y(1-y)\geq0 \Rightarrow y\in[0,1)$
Για x<0: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow\frac{x_1}{1-x_1}=\frac{x_2}{1-x_2}\Rightarrow x_1-x_1x_2=x_2-x_1x_2\Rightarrow x_1=x_2$ άρα "1-1",
$y=\frac{x}{1-x}\Leftrightarrow y=yx+x\Leftrightarrow y=x(y+1)\Leftrightarrow x=\frac{y}{y+1}$ , $y\neq-1$
$x<0\Rightarrow \frac{y}{y+1}<0\Rightarrow y\in(-1,0)$
Επειδή η f "1-1" σε κάθε κλάδο και τα δυο Σ.Τ. ξένα μεταξύ τους, η f "1-1" σε όλο το Π.Ο.
γ) Επείδη η f "1-1" ορίζεται η αντίστροφή της. Είναι
$f^{-1}(x)=\begin{cases} \frac{x}{1-x} & \text{ if } x\in[0,1) \\ \frac{x}{1+x} & \text{ if } x\in(-1,0) \end{cases}$
δ) Έστω g(x) η ζητούμενη: $g(x)=\begin{cases} \frac{x}{2010x+1} & \text{ if } x\geq0 \\ \frac{x}{-2010x+1}& \text{ if } x<0 \end{cases}$
Ελπίζω να μην έκανα κάποιο λάθος,
Αντώνης

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Αντώνη είσαι μαθητής; Βλέπω να σχίζουμε φέτος!!!

Την άσκηση αυτή, την έβαλα σε ένα (καλό) μαθητή μου (από το σχολείο) και δυσκολευόταν στο πρώτο ερώτημα, για τα άλλα ούτε συζήτηση...

Δεν μου είπες, πως την βρήκε την άσκηση;

Υπάρχει φυσικά και άλλος τρόπος επίλυσης, χωρίς να "ανοίξουμε" το απόλυτο...

Νασιούλας Αντώνης · #4

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Αντώνη είσαι μαθητής; Βλέπω να σχίζουμε φέτος!!!

Την άσκηση αυτή, την έβαλα σε ένα (καλό) μαθητή μου (από το σχολείο) και δυσκολευόταν στο πρώτο ερώτημα, για τα άλλα ούτε συζήτηση...

Δεν μου είπες, πως την βρήκε την άσκηση;

Υπάρχει φυσικά και άλλος τρόπος επίλυσης, χωρίς να "ανοίξουμε" το απόλυτο...

Κύριε Μάκη,
ναι είμαι μαθητής της Β Λυκείου.
Εκπλήσσομαι που ο καλός μαθητής δυσκολευόταν στο α). Πρόκειται πιστεύω για κάτι αρκετά τετριμμένο: o παρανομαστής πρέπει να ναι διάφορος του μηδενός και καταλήγουμε στο $|x|\neq-1$ που προφανώς ισχύει για όλα τα x ανήκουν στο R.
Κατά τα άλλα, όμορφη άσκηση, ιδιαίτερα το δ) πολύ έξυπνο ερώτημα και έξω από τα καθιερωμένα.
Για να είμαι ειλικρινής διαισθητικά και μόνο υπέθεσα πως θα υπάρχει και κάτι άλλο -ίσως πιο κομψό- αλλά τα εργαλεία που διαθέτω μέχρι στιγμής μάλλον δεν μου αρκούν για να τον βρω.
Φιλικά,
Αντώνης

#5

Αν θυμάμαι καλά την άσκηση αυτή την είχε δώσει ο Νίκος Μαυρογιάννης και είχε δώσει απάντηση ο Αναστάσης Κοτρώνης.

Έλα που έχω φάει τον τόπο να τη βρώ, μα δεν μπορώ.... :ddr:

harinho7 · #6

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Αντώνη είσαι μαθητής; Βλέπω να σχίζουμε φέτος!!!

Την άσκηση αυτή, την έβαλα σε ένα (καλό) μαθητή μου (από το σχολείο) και δυσκολευόταν στο πρώτο ερώτημα, για τα άλλα ούτε συζήτηση...

Δεν μου είπες, πως την βρήκε την άσκηση;

Υπάρχει φυσικά και άλλος τρόπος επίλυσης, χωρίς να "ανοίξουμε" το απόλυτο...

Μπορείτε να εξηγήσετε το τελευταίο ερώτημα;

#7

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{x}{{1 + \left| x \right|}}}$

<...>

β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1

<...>

Υπάρχει φυσικά και άλλος τρόπος επίλυσης, χωρίς να "ανοίξουμε" το απόλυτο... (*)

Θα ήθελα μερικά σχόλια για την ωραία αυτή άσκηση.

Πρώτα από όλα, υποθέτω ότι αυτό που έχει κατά νου ο Μάκης στο (*) είναι το εξής, που ας το καταγράψω για όφελος των μαθητών μας (το ρωτάει άλλωστε ο harinho7 αμέσως από πάνω):

Έστω $\displaystyle{f\left( x_1 \right) = f\left( x_2 \right)\,\,}$ . Τότε $\displaystyle{\frac{x_1}{{1 + \left| x_1 \right|}}= \frac{x_2}{{1 + \left| x_2 \right|}}\,\,}$ (1). Παίρνοντας απόλυτα είναι $\displaystyle{\frac{\left|x_1\right|}{{1 + \left| x_1 \right|}}= \frac{\left|x_2\right|}{{1 + \left| x_2 \right|}}\,\,}$ ,
άρα (απλό πολλαπλασιάζοντας χιαστί) |x_1| = |x_2|

. Χρησιμοποιώντας αυτό στην (1), απλοποιούνται οι παρονομαστές και μένει $x_1=x_2\,\,$ , όπως θέλαμε.

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Αντώνη είσαι μαθητής; Βλέπω να σχίζουμε φέτος!!!

Τα συγχαρητήριά μου στον Αντώνη, και σε πολλούς άλλους μαθητές στο φόρουμ. Παρακολουθώ τις λύσεις τους, και έχω εντυπωσιαστεί. Μπράβο παιδιά.

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
β) Γράφω τη f ως δίκλαδη:

<...>

(**) Για $x\geq 0$ : $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow\frac{x_1}{1+x_1}=\frac{x_2}{1+x_2}\Rightarrow x_1+x_1x_2=x_2+x_1x_2\Rightarrow x_1=x_2$ άρα, "1-1"

<...>

(***) Για x<0: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow\frac{x_1}{1-x_1}=\frac{x_2}{1-x_2}\Rightarrow x_1-x_1x_2=x_2-x_1x_2\Rightarrow x_1=x_2$ άρα "1-1"

Σωστή είναι η λύση, αλλά για να είναι πλήρης (εννοώ, πλήρης-πλήρης) χρειάζεται να πούμε κάτι ακόμα στα σημεία που απομόνωσα. Πάλι για όφελος των μαθητών μας, ας καταθέσω τα παρακάτω.

Αυτό που λείπει εíναι: Ο συλλογισμός στο (**) λεει ότι αν τα x_1, x_2

είναι και τα δύο θετικά και f(x_1)=f(x_2)

τότε

. Αντίστοιχα ο (***) λέει ότι αν τα x_1, x_2

είναι και τα δύο αρνητικά και f(x_1)=f(x_2)

τότε

.

Εμείς όμως δεν θέλουμε αυτό. Η υπόθεσή μας είναι, σκέτα, f(x_1)=f(x_2)

. Και δεν είναι αυτονόητο ότι τα
x_1, x_2

είναι και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά.

Ευτυχώς, μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι πράγματι είναι και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά (βλέπε παρακάτω (##) ) όποτε τώρα (όχι νωρίτερα) μπορούμε να εφαρμόσουμε τις (**) και (***).

Αυτά.

Φιλικά και με εκτίμηση στους μαθητές μας,

Μιχάλης

(##) Αν $\frac{x_1}{1 + \left| x_1 \right|}= \frac{x_2}{1 + \left| x_2 \right|}\,\,$ τότε, επειδή οι παρονομαστές είναι θετικοί, οι αριθμητές θα είναι ομόσημοι.

Νασιούλας Αντώνης · #8

Κύριε Μιχάλη,
καταρχάς ευχαριστώ πολύ.
Για να είμαι ειλικρινής στο μυαλό είχα αυτό που επισημάνατε, απλώς το άφησα να εννοείται -μάλλον κακώς- για να μην πάρει μεγάλη έκταση η απάντηση μου. Απλώς, αυτό που σκέφτομαι είναι:
αφού λέω εξαρχής ότι δουλεύω με $x\geq0$ δεν εννοείται ότι τα x_1,x_2

που χρησιμοποιώ αμέσως μετά είναι μέσα στους περιορισμούς που έχω θέσει στην αρχή και άρα και τα δύο θετικά(για την ακρίβεια,μη αρνητικά)?? Αντίστοιχα και για το 2ο.
Καταλαβαίνω και δέχομαι ότι σαν αιτιολόγηση είναι σίγουρα πιο τυπική αυτή που είπατε.
Σε κάθε περίπτωση, εσείς καλώς το επισημένετε και πραγματικά σας ευχαριστούμε πολύ για τις πολύ διδακτικές παρατηρήσεις σας.

Μάκης Χατζόπουλος · #9

* Καταρχάς έκανα λάθος, ο μαθητής που λέω πρόβλημα αντιμετώπισε στην 1 - 1 και όχι στο π.ο (το έβαλα μετά αυτό το ερώτημα και γι αυτό μπερδεύτηκα στην αρίθμηση)

** Επίσης υπάρχει θεματάκι στην απάντηση (δ), δες πρώτα τις συνθέσεις fof, fofof, fofofof.... και κατέληξε στην ζητούμενη, δεν είναι αυτό που γράφεις.

*** Μιχάλη, σωστά αυτό είχα κατά νου, όπως επίσης μια καλή παρατήρηση είναι και η εξής: $\displaystyle{\frac{{{x_1}}}{{1 + \left| {{x_1}} \right|}} = \frac{{{x_2}}}{{1 + \left| {{x_2}} \right|}}}$ οι παρονομαστές είναι θετικοί άρα οι αριθμητές είναι ομόσημοι αριθμοί (αλλά μετά "ανοίγεις" απόλυτα με περιπτώσεις, οπότε μία ή άλλη)
(τώρα είδα ότι το έχεις γράψει κάτω - κάτω στραβομάρα!!)

**** Χρήστο ειλικρινά, δεν την έχω δει από κάπου, μόνο τον τύπο της συνάρτησης έχω δανειστεί! Τα ερωτήματα είναι καθαρά δικά μου (όχι φυσικά το 1-1)! Θα ήταν ατιμία και θράσος να πλασάρω κάτι που δεν μου ανήκει...

Νασιούλας Αντώνης · #10

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:* Καταρχάς έκανα λάθος, ο μαθητής που λέω πρόβλημα αντιμετώπισε στην 1 - 1 και όχι στο π.ο (το έβαλα μετά αυτό το ερώτημα και γι αυτό μπερδεύτηκα στην αρίθμηση)

** Επίσης υπάρχει θεματάκι στην απάντηση (δ), δες πρώτα τις συνθέσεις fof, fofof, fofofof.... και κατέληξε στην ζητούμενη, δεν είναι αυτό που γράφεις.

*Έτσι ναι.
**Για το δ) κανονικά είναι: $g(x)=\frac{x}{1+2010|x|}$
Παρασυρόμενος τώρα εγώ από τα απόλυτα που έβγαλα στα προηγούμενα ερωτήματα έγραψα αυτό χωρίς να θεωρώ πως είναι λάθος.
$g(x)=\begin{cases} \frac{x}{2010x+1} & \text{ if } x\geq0 \\ \frac{x}{-2010x+1}& \text{ if } x<0 \end{cases}$ Το ίδιο είναι απλώς έβγαλα το απόλυτο. Εκτός αν έχω κάπου αλλού λάθος.
Αντώνης

Μάκης Χατζόπουλος · #11

Αναλυτικά για την σύνθεση fof έχουμε: $\displaystyle{\left( {fof} \right)\left( x \right) = \frac{{\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}}}{{1 + \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}}}} = \frac{x}{{1 + 2\left| x \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{2^1}} \right)}$

επίσης, $\displaystyle{\left( {fofof} \right)\left( x \right) = \frac{x}{{1 + 4\left| x \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{2^2}} \right)}$

και $\displaystyle{\left( {fofofof} \right)\left( x \right) = \frac{x}{{1 + 8\left| x \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{2^3}} \right)}$

άρα εύκολα συμπεραίνουμε ( άρα χρειάζεται η Μαθηματική επαγωγή;) $\displaystyle{\left( {\underbrace {fofo...of}_{2010}} \right)\left( x \right) = \frac{x}{{1 + {2^{2009}}\left| x \right|}}}$

Νασιούλας Αντώνης · #12

Τελικά έκανα λάθος στις διαδοχικές αντικαταστάσεις το οποίο και αναγνωρίζω και ευχαριστώ τον κ. Μάκη που μου το υπέδειξε.
Καληνύχτα σε όλους

#13

Μάκη, για να δούμε αυτό, χωρίς να ανοίξουμε απόλυτα.
Κατά τα γνωστά με $y=\frac{x}{1+|x|}$ , κρατάμε ότι τα x, y είναι ομόσημα ή και τα δύο μηδέν και τότε έχουμε ισοδύναμα

$|y|=\frac{|x|}{1+|x|}\Leftrightarrow ...|x|=\frac{|y|}{1-|y|}\: \mu \epsilon \: |y|\neq 1\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-|y|}, |y|<1$

οπότε προέκυψαν όλα, 1-1, σύνολο τιμών και αντίστροφη.

#14

Θα βοηθούσε νομίζω στις παραπάνω σκέψεις και το γράφημα της f καθώς και της αντίστροφης αυτής.
Για παράδειγμα το 1-1 θα μπορούσε να εξασφαλιστεί και με τη μελέτη της μονοτονίας.
(Στο σχήμα η γραμμή με γαλάζιο χρώμα αντιστοιχεί στο γράφημα της f ενώ το κόκκινο της αντίστροφής της)

Μάκης Χατζόπουλος · #15

Ρεκ πολύ έξυπνο, ιδιοφυές, στο μαρτύρησε ο Λαζαρίζης;

Κώστα σε ευχαριστούμε για το σχήμα! Αποδεικνύεται εύκολα ότι η f είναι η γν. αύξουσα στα $\displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right]}$ και $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$ απλά θέλει προσοχή (δικαιολόγηση) στην συνεπαγωγή, άρα και η f 1-1 στο R.

#16

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Ρεκ ... στο μαρτύρησε ο Λαζαρίζης;

Μάκη, ο Χρήστος είναι απασχολημένος με το εξής αντίστροφο: Ο αήτητος είναι ηλήθιος;

pito · #17

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Αναλυτικά για την σύνθεση fof έχουμε: $\displaystyle{\left( {fof} \right)\left( x \right) = \frac{{\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}}}{{1 + \left| {\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}} \right|}} = \frac{{\frac{x}{{1 + \left| x \right|}}}}{{1 + \frac{{\left| x \right|}}{{1 + \left| x \right|}}}} = \frac{x}{{1 + 2\left| x \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{2^1}} \right)}$

επίσης, $\displaystyle{\left( {fofof} \right)\left( x \right) = \frac{x}{{1 + 4\left| x \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{2^2}} \right)}$

και $\displaystyle{\left( {fofofof} \right)\left( x \right) = \frac{x}{{1 + 8\left| x \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{2^3}} \right)}$

άρα εύκολα συμπεραίνουμε ( άρα χρειάζεται η Μαθηματική επαγωγή;) $\displaystyle{\left( {\underbrace {fofo...of}_{2010}} \right)\left( x \right) = \frac{x}{{1 + {2^{2009}}\left| x \right|}}}$

Εγώ πάλι Μάκη γιατί συμφωνώ με το αρχικό αποτέλεσμα του Αντώνη;

Και εξηγώ:

Είναι $\displaystyle f(f(x))=f(\frac{x}{1+|x|})=\frac{\frac{x}{1+|x|}}{1+\frac{|x|}{1+|x|}}=\frac{x}{1+2|x|}$
$\displaystyle f(f(f(x)))=f(\frac{x}{1+2|x|})=\frac{\frac{x}{1+2|x|}}{1+\frac{|x|}{1+2|x|}}=\frac{x}{1+3|x|}$
όμοια $\displaystyle f(f(f(f(x)))))=f(\frac{x}{1+3|x|})=\frac{x}{1+4|x|}$

και επαγωγικά προκύπτει $\displaystyle f(f(f(...(f(x))))=\frac{x}{1+2010|x|}$

Κάνω κάτι λάθος και δεν το βλέπω;

Μάκης Χατζόπουλος · #18

Έτσι όπως το βλέπω μάλλον εσύ και ο Αντώνης δεν κάνετε λάθος αλλά εγώ!

S.E.Louridas · #19

Επί τη ευκαιρία και για να μην ξεχνάμε (Θέμα φυσικομαθηματικού κύκλου 1972):

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystale{f\left( x \right) = \frac{x} {{1 + \left| x \right|}}/{\Cal R}}$ .
Να βρεθεί το πεδίο τιμών της και να αποδειχθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Νασιούλας Αντώνης · #20

S.E.Louridas έγραψε:Επί τη ευκαιρία και για να μην ξεχνάμε (Θέμα φυσικομαθηματικού κύκλου 1972):

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystale{f\left( x \right) = \frac{x} {{1 + \left| x \right|}}/{\Cal R}}$ .
Να βρεθεί το πεδίο τιμών της και να αποδειχθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα.

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 1-\displaystyle{\frac{1}{x+1}} &,x \geq 0 \\ \\ -1 +\displaystyle{ \frac{1}{1-x}} &, x<0 \end{matrix}\right.}$

Εύκολα με τον ορισμό δείχνουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στους μη αρνητικούς και γνησίως αύξουσα στους αρνητικούς. Επίσης η

συνεχής στο

(ως πράξεις συνεχών είναι συνεχής σε όλους τους πραγματικούς), άρα είναι γνησίως αύξουσα σε όλους τους πραγματικούς.
Παίρνοντας τα όρια στο $\pm$ άπειρο, βρίσκουμε ότι το σύνολο τιμών είναι το (-1,1)

.

Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Re: Άσκηση με 1-1, αντίστροφη και σύνθεση

Μέλη σε σύνδεση