Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Μια προτεινόμενη άσκηση από τον αγαπητό συνάδελφο Ζανταρίδη Νίκο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)}$

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο $\displaystyle{{\cal R}}$

#2

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μια προτεινόμενη άσκηση από τον αγαπητό συνάδελφο Ζανταρίδη Νίκο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)}$

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο $\displaystyle{{\cal R}}$

Ενδιαφέρον.

Ορίζουμε F(0)=0 και για τυχαίο a θετικό ορίζουμε F(a) το μέγιστο της f στο [0, a] (για a αρνητικό εργαζόμαστε όμοια). Παρατηρούμε ότι η F είναι συνεχής στο 0 (διότι η f πιάνει τα μέγιστά της στα κλειστά διαστήματα, οπότε για κάποιο x_a

με $0 \le x_a \le a$ έχουμε F(a) = f(x_a)

. Έτσι αν a τείνει στο 0, τότε και x_a

τείνει στο 0, οπότε το $\lim_0 F(a) = \lim_0 f(x_a)=f(0) = F(0)$ ).

Επίσης παρατηρούμε ότι, προφανώς, η F είναι αύξουσα στο $[0, \infty)$ . Άρα, από την δοθείσα έχουμε για κάθε $x \in [0,a]$ ότι

$\displaystyle {f(x) = \frac{1}{99}\left ( f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right) \right) \le\frac{1}{99}\left ( F\left( {\frac{a}{2}} \right) + F\left( {\frac{a}{3}} \right) + ... + F\left( {\frac{a}{{100}}} \right) \right) \le \frac{99}{99}\left F\left( {\frac{a}{2}}\right) =F\left( {\frac{a}{2}}\right)$

Συνεπώς, από τον ορισμό της, είναι $F(a) \le F(a/2)$ . Η σχέση αυτή αναδρομικά δίνει

$f(0) \le F(a) \le F(a/2) \le F(a/2^2) \le ...$ . Παίρνοντας όρια, $f(0) \le F(a) \le f(0)$ που σημαίνει ότι έχουμε ισότητα παντού. Με τη σειρά του αυτό δείχνει ότι η f δεν αλλάζει την τιμή της στο [0, a], όπως θέλαμε, αφού a τυχαίο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

nikoszan · #3

Προτεινόμενη λύση από τον Νίκο Ζανταρίδη.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R \to R$
τέτοια ώστε:
$99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)\quad (1)$

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο

Λύση:
Έστω τυχαίος $\alpha > 0$ . Επειδή η

είναι συνεχής στο $\left[ { - \alpha ,\alpha } \right]$
παρουσιάζει στο διάστημα αυτό μια ελάχιστη τιμή $\mu$ και μια μέγιστη τιμή ${\rm M}$ .
Έστω ${x_0} \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]$ η θέση του μεγίστου της

, τότε θα είναι $f\left( {{x_0}} \right) = {\rm M}$ και επειδή:
$\frac{{{x_0}}}{2},\frac{{{x_0}}}{3},...,\frac{{{x_0}}}{{100}} \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]$
θα ισχύει:
$f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) \le {\rm M},f\left( {\frac{{{x_0}}}{3}} \right) \le {\rm M},...,f\left( {\frac{{{x_0}}}{{100}}} \right) \le {\rm M}$
Υποθέτω ότι: $f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) < {\rm M}$ τότε από την (1) για $x = {x_0}$
έχουμε:
$\begin{array}{l} 99f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) + f\left( {\frac{{{x_0}}}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{{{x_0}}}{{100}}} \right) \Rightarrow \\ 99{\rm M} < {\rm M} + {\rm M} + ... + {\rm M} \Rightarrow 99{\rm M} < 99{\rm M} \\ \end{array}$
που είναι άτοπο.
Άρα:
$f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) = {\rm M}$

Έτσι αν $f\left( {{x_0}} \right) = {\rm M}$ τότε και $f\left( {\frac{{{x_0}}}{2}} \right) = {\rm M}$ και αναδρομικά θα έχουμε:
$f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^2}}}} \right) = {\rm M},f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^3}}}} \right) = {\rm M},...,f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^\nu }}}} \right) = {\rm M},...$
δηλαδή για κάθε $\nu \in {{\rm N}^*}$ ισχύει:
${\rm M} = f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^\nu }}}} \right)$
οπότε:
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu \to + \infty } {\rm M} = \mathop {\lim }\limits_{\nu \to + \infty } f\left( {\frac{{{x_0}}}{{{2^\nu }}}} \right)}$
και επειδή η

είναι συνεχής έχουμε:
${\rm M} = f\left( 0 \right)$

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\nu \to + \infty } f\left( {\frac{{{x_0}}} {{{2^\nu }}}} \right)\mathop = \limits^{\omega = \frac{{{x_0}}} {{{2^\nu }}}} \mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} f\left( \omega \right) = f\left( 0 \right)}$

Ομοίως αποδείκνυεται ότι $\mu = f(0)$
δηλαδή $\mu = {\rm M} = f\left( 0 \right)$ οπότε $f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ για κάθε $x \in \left[ { - \alpha ,\alpha } \right]$ και για οποιοδήποτε $\alpha > 0$ . Επομένως:
$f\left( x \right) = f\left( 0 \right),\forall x \in R$
δηλαδή η

είναι σταθερή στο

Αντικατάσταση συνημμένου με κώδικα $\LaTeX$

chris · #4

κ.Νίκο πολύ ωραία άσκηση...

Με εκτίμηση

nikoszan · #5

Σας ευχαριστώ πολύ για την κατανόηση σας στη δυσκολία που έχω να στείλω το μήνυμα με γραφή Latex και τη μετατροπή που εσείς οι ίδιοι κάνατε.
Ευελπιστώ σύντομα να μάθω να χειρίζομαι τη γραφή αυτη.
Με εκτίμηση
Νίκος Ζανταρίδης

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Πολύ εύκολα η άσκηση γενικεύεται που το διαπιστώσαμε από την πρώτη στιγμή με τον Νίκο, δηλ.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}}$ τέτοια ώστε: $\displaystyle{\nu f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{v + 1}}} \right),\,\,\,v \in N\,\left( {v > 1} \right)}$

να δείξετε ότι η f είναι σταθερή στο R.

Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Re: Άσκηση από τον Ζανταρίδη Νίκο

Μέλη σε σύνδεση