άσκηση ορίων συνέχειας

pastavr · #1

Μία άσκηση από την ιστοσελίδα operedidixe.gr ( εξαίρετη δουλειά ) από τον Ν . Ζανταρίδη
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει : $\displaystyle{ {\rm{f(f(x)) + 3f(x) = 12 - 2x }} }$
για κάθε $\displaystyle{ {\rm{x}} \in {\rm{R}} }$
ι) να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{ {\rm{x}}_o \in R:f(x_o ) = x_o }$
ιι) Αποδείξτε ότι f(2) = 2
ιιι) Αν $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = L \in ( - 2,0) }$
αποδείξτε ότι L = - 1

#2

Για το πρώτο έχω λυκειακή λύση:
Η συνάρτηση $g(x)=f(x)-x, x \in \mathbb{R}$ είναι συνεχής, άρα αν δεν έχει ρίζα, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $g(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)>x \in \mathbb{R}$
$f(f(x))>f(x) \Rightarrow f(f(x))+3f(x)>4x \Rightarrow 4x>12-2x, \forall x \in \mathbb{R}$ , άτοπο.
Από τη δοθείσα εύκολα προκύπτει ότι η

είναι 1-1, άρα είναι γνησίως μονότονη, επειδή είναι και συνεχής. Η f(f(x))

είναι γνησίως αύξουσα, άρα η $f(x)= \frac {12-2x-f(f(x)}{3}$ είναι γνησίως φθίνουσα.
Αν είναι φραγμένη, τότε φραγμένη θα πρέπει να είναι και η 12-2x

, άτοπο.
συνεπώς $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x)=+\infty$ και
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$
Εύκολα συμπεραίνουμε ότι υπάρχει η $f^{-1}$ με πεδιο ορισμού το $\mathbb{R}$ και επιπλέον ότι το σταθερό σημείο x_0

της

είναι μοναδικό και ταυτίζεται με το σταθερό σημείο της $f^{-1}$
Η αρχική σχέση δίνει $f(x)+3x=12-2f^{-1}(x), \forall x \in \mathbb{R}$
Αν βάλουμε όπου x το x_0

έχουμε $f(x_0)+3x_0=12-2f^{-1}(x_0) \Rightarrow 6x_0=12 \Rightarrow x_0=2$
Για τα όρια
Για x>0

η δοθείσα γραφεται $\frac {f(f(x))}{f(x)}+3=\frac {12}{f(x)}-2\frac {x}{f(x)}$
Και παίρνοντας όρια στο άπειρο $L+3=-\frac {2}{L} \Rightarrow L=-1$
Φιλικά
Υ.Γ Εκ των υστέρων βλέπω πως δεν χρειάζεται να πάμε στην αντίστροφη για να αποδείξουμε ότι f(2)=2

Αρκεί να βάλουμε στη δοθείσα όπου

το σταθερό σημείο x_0

την ύπαρξη του οποίου αποδείξαμε στο πρώτο βήμα και προκύπτει ότι x_0=2

hsiodos · #3

Κάποιες παρατηρήσεις-σχόλια

1. Ενδιαφέρον είναι να βρεθούν τα $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\,\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)}$ χωρίς να γίνει χρήση της πρότασης ότι κάθε συνεχής και 1-1 συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη(τότε προκύπτει εύκολα ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα).

2. Επίσης να βρεθούν τα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}\,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(x)}}{x}}$ δοθέντος ότι υπάρχουν και είναι διαφορετικά του -2 . (Δηλαδή χωρίς το δεδομένο ότι είναι ίσα.)

3. Έχω προσπαθήσει να βρω τα όρια $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}\,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(x)}}{x}}$ χωρίς το δεδομένο ότι υπάρχουν αλλά μέχρι στιγμής δεν έχω αποτέλεσμα. Δεν ξέρω αν μπορούμε να καταφέρουμε κάτι τέτοιο , πάντα στα πλαίσια της σχολικής ύλης.

4. Προφανώς η συνάρτηση που έχει χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή της άσκησης είναι η f(x)=-x+4 .

Γιώργος

styt_geia · #4

s.kap έγραψε:Για το πρώτο έχω λυκειακή λύση:
Η συνάρτηση $g(x)=f(x)-x, x \in \mathbb{R}$ είναι συνεχής, άρα αν δεν έχει ρίζα, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $g(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)>x \in \mathbb{R}$
$f(f(x))>f(x) \Rightarrow f(f(x))+3f(x)>4x \Rightarrow 4x>12-2x, \forall x \in \mathbb{R}$ , άτοπο.

Υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνω αλλά ίσως είναι λανθασμένο το σκεπτικό μου. Από την συναρτησιακή σχέση καταλήξατε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Θεωρώντας τώρα, όπως στην αρχή της απόδειξης σας ότι f(x)>x

(1), τότε αν όπου

στην (1) βάλουμε το f(x)

καταλήγουμε στην σχέση f(f(x))>f(x)

. Αν όμως χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα, πάλι από την σχέση (1) παίρνουμε ότι f(f(x))<f(x)

. Τελικά τι από τα δύο είναι σωστό;

Κώστας

#5

styt_geia έγραψε:
s.kap έγραψε:Για το πρώτο έχω λυκειακή λύση:
Η συνάρτηση $g(x)=f(x)-x, x \in \mathbb{R}$ είναι συνεχής, άρα αν δεν έχει ρίζα, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $g(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)>x \in \mathbb{R}$
$f(f(x))>f(x) \Rightarrow f(f(x))+3f(x)>4x \Rightarrow 4x>12-2x, \forall x \in \mathbb{R}$ , άτοπο.
Υπάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνω αλλά ίσως είναι λανθασμένο το σκεπτικό μου. Από την συναρτησιακή σχέση καταλήξατε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Θεωρώντας τώρα, όπως στην αρχή της απόδειξης σας ότι (1), τότε αν όπου στην (1) βάλουμε το καταλήγουμε στην σχέση . Αν όμως χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα, πάλι από την σχέση (1) παίρνουμε ότι . Τελικά τι από τα δύο είναι σωστό;

Κώστας

Επειδή αυτά τα δύο δεν συμβιβάζονται γιά αυτόν τον λόγο καταλήγουμε σε άτοπο, ότι δηλαδή δεν είναι δυνατόν $f(x) \neq x , \forall x \in \mathbb{R}$
Ελπίζω να έγινα κατανοητός

styt_geia · #6

Δεν το είχα κατανοήσει από την σκοπιά της λογικής. Ευχαριστώ πολύ!

άσκηση ορίων συνέχειας

άσκηση ορίων συνέχειας

Re: άσκηση ορίων συνέχειας

Re: άσκηση ορίων συνέχειας

Re: άσκηση ορίων συνέχειας

Re: άσκηση ορίων συνέχειας

Re: άσκηση ορίων συνέχειας

Μέλη σε σύνδεση