Αντίστροφη

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,2]\to \mathbb{R}}$ επίσης για κάθε χ ισχύει $\displaystyle{{{f}^{3}}(x)+f(x)=x}$ .
Να βρείτε (αν υπάρχει ) η αντίστροφη της .
Υ.Γ :Θα παρακαλούσα για μια αναλυτική λύση.

#2

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,2]\to \mathbb{R}}$ επίσης για κάθε χ ισχύει $\displaystyle{{{f}^{3}}(x)+f(x)=x}$ .
Να βρείτε (αν υπάρχει ) η αντίστροφη της .
Υ.Γ :Θα παρακαλούσα για μια αναλυτική λύση.

Κώστα, Χρόνια πολλά !

Καλή άσκηση για προβληματισμό !

ΣΚΕΨΕΙΣ

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δυστυχώς πάει το μυαλό μου στην κλασσική αντιμετώπιση.Ο περιορισμός στο [0,2] δεν με βοηθάει, το αντίθετο θα έλεγα.
Από την άλλη, με απαγωγή βγάζουμε εύκολα ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα(το 1-1 είναι τελείως μαθητικό), οπότε αυτό ζητάει τη συνέχεια .
Ξέρεις , όταν στο μυαλό σου έχεις έναν τρόπο, δύσκολα ξεκολάς!
Μου φαίνεται ότι η πιο ''απλή λύση είναι να την βγάλουμε συνεχή και έτσι το σύνολο τιμών θα είναι το [0,1].Ο τύπος της αντίστροφης είναι βέβαια ο $f^{-1} (x) = x^3+x , x \in [0,1]$ .Αν την βγάλουμε και παραγωγίσιμη(πολύ γρήγορα γίνεται και αυτό, μετά τη συνέχεια), τότε έχουμε έναν άλλο τρόπο για να την βγάλουμε γνησίως μονότονη, ααφού έχει θετική παράγωγο.
Ο άλλος τρόπος να βγάλουμε το σύνολο τιμών είναι να πάρουμε b στο [0,1] , οπότε με
a=b^3+b

βρίσκουμε ότι f(a)=b

αφού θα είναι και a=f^3 (a)+ f(a)

.(Αρκεί να πάρουμε την ισότητα b^3+b = f^3 (a)+ f(a) (=a)

). Το γεγονός ότι αυτό το a είναι στο [0,2] είναι απλή κατασκευαστική ανισότητα.

Τώρα, ανάλογα με το τι ύλη έχεις στα χέρια σου, μπορείς να επιλέξεις. Για άσκηση του ενός ερωτήματος είναι δύσκολη, όσο να φαίνεται σε μας μέτρια, επειδή είναι γνωστή.
Ας βοηθήσουν όμως και οι συνάδελοι με πιο νέες ιδέες. Δεν πέρασα σε πιο αναλυτική λύση, μια και έχουμε πολλούς δρόμους, αλλά και για να μην πάρω τη χαρά από πιο νέους συναδέλφους που θα ασχοληθούν.

Μπάμπης

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Μπάμπη αυτό πως σου φαίνεται ...

Για $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left[ {0,2} \right]}$ με $\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2})}$ έχουμε $\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow {f^3}({x_1}) = {f^3}({x_2})}$ οπότε $\displaystyle{f({x_1}) + {f^3}({x_1}) = f({x_2}) + {f^3}({x_2}) \Rightarrow {x_1} = {x_2}}$ δηλ. η f είναι 1-1 άρα αντιστρέφεται .
Θεωρώ $\displaystyle{g(x) = {x^3} + x}$ , [0 , 1 ] η οποία είναι γνησίως αύξουσα άρα και αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left[ {g(0),g(1)} \right] = \left[ {0,2} \right]}$ .
Η δοσμένη ισότητα δίνει $\displaystyle{g(f(x)) = x \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(x) = g(x)}$

margavare · #4

Για κάθε $x_1 \;,\;x_2 \in \left[ {0,2} \right]$
έχουμε
$\begin{array}{l} f\left( {x_1 } \right) = f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f^3 \left( {x_1 } \right) = f^3 \left( {x_2 } \right) \\ f^3 \left( {x_1 } \right) + f\left( {x_1 } \right) = f^3 \left( {x_2 } \right) + f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow x_1 = x_2 \\ \end{array}$

Άρα η f είναι «1-1».

Θέτουμε $f\left( x \right) = y$
στην σχέση $f^3 \left( x \right) + f\left( x \right) = x \Leftrightarrow y^3 + y = x \Leftrightarrow x = y^3 + y$

Με $\begin{array}{l} 0 \le x \le 2 \Leftrightarrow \\ 0 \le y^3 + y \le 2 \\ \end{array}$

$y^3 + y \ge 0 \Leftrightarrow y\left( {y^2 + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 0$

$y^3 + y \le 2 \Leftrightarrow y^3 + y - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y^2 + y + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow y - 1 \le 0 \Leftrightarrow y \le 1$

άρα $x = y^3 + y\quad ,\quad 0 \le y \le 1$

Εναλλάσσουμε τα x, y και έχουμε

$\begin{array}{l} y = x^3 + x\quad ,\quad 0 \le x \le 1 \\ f^{ - 1} \left( x \right) = x^3 + x\quad ,\quad 0 \le x \le 1 \\ \end{array}$

Έχω κάνει τον μαθητικό τρόπο, αλλά αφού την έγραψα...

#5

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Μπάμπη αυτό πως σου φαίνεται ...

Για $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left[ {0,2} \right]}$ με $\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2})}$ έχουμε $\displaystyle{f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow {f^3}({x_1}) = {f^3}({x_2})}$ οπότε $\displaystyle{f({x_1}) + {f^3}({x_1}) = f({x_2}) + {f^3}({x_2}) \Rightarrow {x_1} = {x_2}}$ δηλ. η f είναι 1-1 άρα αντιστρέφεται .
Θεωρώ $\displaystyle{g(x) = {x^3} + x}$ , [0 , 1 ] η οποία είναι γνησίως αύξουσα άρα και αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left[ {g(0),g(1)} \right] = \left[ {0,2} \right]}$ .
Η δοσμένη ισότητα δίνει $\displaystyle{g(f(x)) = x \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(x) = g(x)}$

Αυτό το έκανα , μέχρι το g(f(x)) = x

, αλλά δεν το συνέχισα και έτσι δεν το έγραψα διότι είχα μερικές αμφιβολίες για το σύνολο τιμών πρώτα.Κάπου , από παλιά, μου είχε ...κολήσει ότι χρειαζόμαστε και την σχέση f(g(x)) = x

(είναι και τα πεδία ορισμού στη μέση !)
Αφού το κοίταξες όμως και είναι εντάξει , μου αρέσει και μένα ως κίνηση και το δανίζομαι όπως το έγραψες , κι αν προκύψει κάτι το ξαναβλέπουμε !Δεν σου κρύβω όμως ότι αν ένας μαθητής επέμενε ''γιατί και γιατί '', δεν θα ένοιωθα άνετα.
Μπάμπης

#6

Μπάμπη ,Χρήστο, Μαργαρίτα χρόνια πολλά.
Μπάμπη: όντως με συνέχεια κ.τ.λ είναι ένας τρόπος ,...από τα παλιά .
Χρήστο :τον ίδιο τρόπο έχω και εγώ κατά νου, και είναι αυτός που με αρέσει , λίγο το <<εστω g(x) στο [0,1] >> θέλει εξήγηση .
Μαργαρίτα: σου λείπει μια ισοδυναμία
η $\displaystyle{f(x)=y\Leftrightarrow ......\Leftrightarrow x={{y}^{3}}+y}$
Για να δεχτούμε ότι η $\displaystyle{f(x)=y}$ λύθηκε ως προς χ .

Υ.Γ :Θα παρακαλούσα για μια αναλυτική λύση.

#7

Η πρώτη γραμμή του Χρήστου, κρύβει ένα ερωτηματικό.Είναι σαν να ρωτάει και αυτός : '' είναι σωστή η λύση '' ή '' μήπως θέλει και κάτι παραπάνω ; '' Νομίζω ότι αξίζει να το ψάξουμε λιγάκι .

Για τη συνάρτηση

που πήρε ο Χρήστος και μάλιστα στο [0,1]

, πώς ξέρουμε ότι ορίζεται η σύνθεση gof

, αν δεν έχουμε εξασφαλίσει ότι το σύνολο τιμών της

είναι υποσύνολο του [0,1]

.Διότι η σχέση f^3 (x) + f(x) = x

της υπόθεσης δεν εξασφαλίζει τη σύνθεσης της δικής μας

με την

. Αν είχαμε πεδίο ορισμού για τη g όλο το IR , θα ήταν διαφορετικά. Θα ξέραμε τουλάχιστον ότι ορίζεται η σύνθεση, αν και πάλι θα χρειαζόμασταν κάτι ακόμα.
Για να δείξουμε μάλιστα την ισότητα των συναρτήσεων που θέλουμε, χρειάζεται μάλλον να ξέρουμε ακριβώς το σύνολο τιμών της

.

Θα το ψάξω ακόμα, διότι είναι ευκαιρία !!! Χρήστο και Κώστα , ωραίο ερώτημα για Χριστούγεννα, και το ....εξασφάλισα το διαζύγιο από τη γυναίκα μου !!!

Νάστε καλά - Μπάμπης

#8

Αν συνδιασουμε λιγο την λυση της Μαργαριτας και του Χρηστου βγαινει το [0,1]
και οριζεται η συνθεση .
Αυτα για τωρα παω να ετοιμαστω για ΒΑΛΙΑ ΚΑΛΝΤΑ(ΓΡΕΒΕΝΑ).

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Η πρώτη γραμμή του Χρήστου, κρύβει ένα ερωτηματικό.Είναι σαν να ρωτάει και αυτός : '' είναι σωστή η λύση '' ή '' μήπως θέλει και κάτι παραπάνω ; '' Νομίζω ότι αξίζει να το ψάξουμε λιγάκι .

Για τη συνάρτηση που πήρε ο Χρήστος και μάλιστα στο , πώς ξέρουμε ότι ορίζεται η σύνθεση , αν δεν έχουμε εξασφαλίσει ότι το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του .Διότι η σχέση της υπόθεσης δεν εξασφαλίζει τη σύνθεσης της δικής μας με την . Αν είχαμε πεδίο ορισμού για τη g όλο το IR , θα ήταν διαφορετικά. Θα ξέραμε τουλάχιστον ότι ορίζεται η σύνθεση, αν και πάλι θα χρειαζόμασταν κάτι ακόμα.
Για να δείξουμε μάλιστα την ισότητα των συναρτήσεων που θέλουμε, χρειάζεται μάλλον να ξέρουμε ακριβώς το σύνολο τιμών της .

Θα το ψάξω ακόμα, διότι είναι ευκαιρία !!! Χρήστο και Κώστα , ωραίο ερώτημα για Χριστούγεννα, και το εξασφάλισα το διαζύγιο από τη γυναίκα μου!!!
Νάστε καλά - Μπάμπης

#9

Κώστα, εύχομαι καλό ταξίδι και καλή διασκέδαση !

Μπάμπης

#10

Μπαμπη να εισαι καλα (Εχασα το συνεδριο για την ζεστη κοιλαδα) αλλα γλυτωσα το διαζυγιο ..
Στην ασκηση τωρα
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,2]\to \mathbb{R}}$ επίσης για κάθε χ ισχύει $\displaystyle{{{f}^{3}}(x)+f(x)=x}$ .
Να βρείτε (αν υπάρχει ) η αντίστροφη της
...................................................ΛΥΣΗ
Για κάθε $x_1 \;,\;x_2 \in \left[ {0,2} \right]$ έχουμε
$\begin{array}{l} f\left( {x_1 } \right) = f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f^3 \left( {x_1 } \right) = f^3 \left( {x_2 } \right) \\ f^3 \left( {x_1 } \right) + f\left( {x_1 } \right) = f^3 \left( {x_2 } \right) + f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow x_1 = x_2 \\ \end{array}$
Άρα η f είναι «1-1».
Θέτουμε $f\left( x \right) = y$ στην σχέση $f^3 \left( x \right) + f\left( x \right) = x \Leftrightarrow y^3 + y = x \Leftrightarrow x = y^3 + y$
Σχόλιο: αυτό δεν σημαίνει ότι λύσαμε την $f\left( x \right) = y$ ως προς χ (δηλαδή ότι βρήκαμε τον τύπο της αντίστροφης)
Όμως $\begin{array}{l} 0 \le x \le 2 \Leftrightarrow \\ 0 \le y^3 + y \le 2 \\ \end{array}$
$y^3 + y \ge 0 \Leftrightarrow y\left( {y^2 + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 0$
$y^3 + y \le 2 \Leftrightarrow y^3 + y - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y^2 + y + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow y - 1 \le 0 \Leftrightarrow y \le 1$
Άρα $0\le y\le 1$ αλλά αυτό δεν είναι κατά ανάγκη το πεδίο τιμών .
Θεωρώ $\displaystyle{g(x) = {x^3} + x}$ , [0 , 1 ] η οποία είναι γνησίως αύξουσα άρα και αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left[ {g(0),g(1)} \right] = \left[ {0,2} \right]}$ .
Έχουμε $\Alpha gof=\left\{ x\in {{A}_{f}}\And f(x)\in Ag \right\}=\left\{ x\in [0,2]\And f(x)\in [0,1] \right\}=\left\{ 0\le x\le 2\And 0\le {{x}^{3}}+x\le 1 \right\}$ Άρα ορίζεται και η σύνθεση .
Η δοσμένη ισότητα δίνει $\displaystyle{g(f(x)) = x \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(x) = g(x)}$
2ος τρόπος
Θέτουμε $f\left( x \right) = y$ στην σχέση $f^3 \left( x \right) + f\left( x \right) = x \Leftrightarrow y^3 + y = x \Leftrightarrow x = y^3 + y$
Για να το δεχτούμε ως λύση πρέπει
$\begin{array}{l} 0 \le x \le 2 \Leftrightarrow \\ 0 \le y^3 + y \le 2 \\ \end{array}$
$y^3 + y \ge 0 \Leftrightarrow y\left( {y^2 + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 0$
$y^3 + y \le 2 \Leftrightarrow y^3 + y - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y^2 + y + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow y - 1 \le 0 \Leftrightarrow y \le 1$
Άρα $0\le y\le 1$ αλλά αυτό δεν είναι κατά ανάγκη το πεδίο τιμών .
Θεωρώ $\displaystyle{g(x) = {x^3} + x}$ , [0 , 1 ] η οποία είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1
Εχουμε
${{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)=x\Leftrightarrow {{y}^{3}}+y=x\Leftrightarrow x={{y}^{3}}+y\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)={{y}^{3}}+y\Leftrightarrow g(f\left( x \right))=g(y)\Leftrightarrow f(x)=y$
Άρα ${{f}^{-1}}\left( y \right)={{y}^{3}}+y$ με $0\le y\le 1$ το οποίο τώρα είναι το πεδίο τιμών της f αφού η λύση $x={{y}^{3}}+y$ είναι η μοναδική λύση της $f\left( x \right) = y$ .

pito · #11

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Μπαμπη να εισαι καλα (Εχασα το συνεδριο για την ζεστη κοιλαδα) αλλα γλυτωσα το διαζυγιο ..
Στην ασκηση τωρα
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,2]\to \mathbb{R}}$ επίσης για κάθε χ ισχύει $\displaystyle{{{f}^{3}}(x)+f(x)=x}$ .
Να βρείτε (αν υπάρχει ) η αντίστροφη της
...................................................ΛΥΣΗ
Για κάθε $x_1 \;,\;x_2 \in \left[ {0,2} \right]$ έχουμε
$\begin{array}{l} f\left( {x_1 } \right) = f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow f^3 \left( {x_1 } \right) = f^3 \left( {x_2 } \right) \\ f^3 \left( {x_1 } \right) + f\left( {x_1 } \right) = f^3 \left( {x_2 } \right) + f\left( {x_2 } \right) \Rightarrow x_1 = x_2 \\ \end{array}$
Άρα η f είναι «1-1».
Θέτουμε $f\left( x \right) = y$ στην σχέση $f^3 \left( x \right) + f\left( x \right) = x \Leftrightarrow y^3 + y = x \Leftrightarrow x = y^3 + y$
Σχόλιο: αυτό δεν σημαίνει ότι λύσαμε την $f\left( x \right) = y$ ως προς χ (δηλαδή ότι βρήκαμε τον τύπο της αντίστροφης)
Όμως $\begin{array}{l} 0 \le x \le 2 \Leftrightarrow \\ 0 \le y^3 + y \le 2 \\ \end{array}$
$y^3 + y \ge 0 \Leftrightarrow y\left( {y^2 + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 0$
$y^3 + y \le 2 \Leftrightarrow y^3 + y - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y^2 + y + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow y - 1 \le 0 \Leftrightarrow y \le 1$
Άρα $0\le y\le 1$ αλλά αυτό δεν είναι κατά ανάγκη το πεδίο τιμών .
Θεωρώ $\displaystyle{g(x) = {x^3} + x}$ , [0 , 1 ] η οποία είναι γνησίως αύξουσα άρα και αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left[ {g(0),g(1)} \right] = \left[ {0,2} \right]}$ .
Έχουμε $\Alpha gof=\left\{ x\in {{A}_{f}}\And f(x)\in Ag \right\}=\left\{ x\in [0,2]\And f(x)\in [0,1] \right\}=\left\{ 0\le x\le 2\And 0\le {{x}^{3}}+x\le 1 \right\}$ Άρα ορίζεται και η σύνθεση .
Η δοσμένη ισότητα δίνει $\displaystyle{g(f(x)) = x \Leftrightarrow f(x) = {g^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(x) = g(x)}$
2ος τρόπος
Θέτουμε $f\left( x \right) = y$ στην σχέση $f^3 \left( x \right) + f\left( x \right) = x \Leftrightarrow y^3 + y = x \Leftrightarrow x = y^3 + y$
Για να το δεχτούμε ως λύση πρέπει
$\begin{array}{l} 0 \le x \le 2 \Leftrightarrow \\ 0 \le y^3 + y \le 2 \\ \end{array}$
$y^3 + y \ge 0 \Leftrightarrow y\left( {y^2 + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 0$
$y^3 + y \le 2 \Leftrightarrow y^3 + y - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y^2 + y + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow y - 1 \le 0 \Leftrightarrow y \le 1$
Άρα $0\le y\le 1$ αλλά αυτό δεν είναι κατά ανάγκη το πεδίο τιμών .
Θεωρώ $\displaystyle{g(x) = {x^3} + x}$ , [0 , 1 ] η οποία είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1
Εχουμε
${{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)=x\Leftrightarrow {{y}^{3}}+y=x\Leftrightarrow x={{y}^{3}}+y\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)={{y}^{3}}+y\Leftrightarrow g(f\left( x \right))=g(y)\Leftrightarrow f(x)=y$
Άρα ${{f}^{-1}}\left( y \right)={{y}^{3}}+y$ με $0\le y\le 1$ το οποίο τώρα είναι το πεδίο τιμών της f αφού η λύση $x={{y}^{3}}+y$ είναι η μοναδική λύση της $f\left( x \right) = y$ .

Έχω ξαναπεί ότι το μεγαλύτερο σχολείο για μένα είναι το

! Τόσο καιρό ζούσα στην πλάνη μου!!!

Κύριε Κώστα, απλά σας ευχαριστώ!

Αντίστροφη

Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση