Ένα όριο με παραμέτρους

#1

Για

θετικούς πραγματικούς, ας βρεθεί (αν υπάρχει) το όριο:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left (\frac{a^{x^{3}}+b^{x^{3}}+c^{x^{3}}}{a^{x^{2}}+b^{x^{2}}+c^{x^{2}}}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ .

kwstas12345 · #2

Kαλησπέρα..μια λύση πιστελυω σωστή: Aρκεί να υπολογίσουμε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}\ln\left(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}} \right)$ .

Με ένα D Hospιtal: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}\ln\left(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\left(x^2 \right)'}\left(\ln \left(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}} \right)\right)'$

$\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2x}\cdot\frac{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}}{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}} \right)\cdot\frac{\left(a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2} \right)3x^2\left(a^{x^3}\ln a+b^{x^3}\ln b+c^{x^3}\ln c \right)-\left(a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3} \right)2x\left(a^{x^2}\ln a+b^{x^2}\ln b+c^{x^2}\ln c \right)}{\left(a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2} \right)^{2}}$

Τώρα υπολογίζουμε τα $\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2} \right)3x^2\left(a^{x^3}\ln a+b^{x^3}\ln b+c^{x^3}\ln c \right)-\left(a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3} \right)2x\left(a^{x^2}\ln a+b^{x^2}\ln b+c^{x^2}\ln c \right)}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\left(a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2} \right)\frac{3}{2}x\left(a^{x^3}\ln a+b^{x^3}\ln b+c^{x^3}\ln c \right) \right)-\lim_{x\rightarrow 0}\left(\left(a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3} \right)\left(a^{x^2}\ln a+b^{x^2}\ln b+c^{x^2}\ln c \right) \right)=$
$\displaystyle -3\ln\left(abc \right)$

και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\left(a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3} \right)\left(a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2} \right)}=\frac{1}{9}$ .

Άρα σαν τελική απάντηση βρίσκω $\displaystyle e^{-\frac{\ln\left(abc \right)}{3}}=e^{\ln\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

#3

Ωραίος. Κάποιες ακόμα σκέψεις εδώ.

kwstas12345 · #4

Το αρχίκο όριο μπορεί νομίζω να βγεί και με την βοήθεια του ΚΠ μέσω της γνωστής $\displaystyle \frac{x-1}{x}\leqslant \ln x\leqslant x-1$ οπότε θα είναι $\displaystyle \frac{1}{x^2}\left(1-\frac{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}}{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}} \right)\leqslant \frac{1}{x^{2}}\ln\left(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}} \right)\leqslant \frac{1}{x^2}\left(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}}-1 \right)$

μιας και τα δύο ακριανά όρια είναι τα $\displaystyle \ln\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

Ένα όριο με παραμέτρους

Ένα όριο με παραμέτρους

Re: Ένα όριο με παραμέτρους

Re: Ένα όριο με παραμέτρους

Re: Ένα όριο με παραμέτρους

Μέλη σε σύνδεση