Ενα όριο...

johnbausis · #1

Να υπολογισθεί το όριο στο 0 της 1/χ^2[1-(χ/ημχ)^2].Πιθανόν είναι κάτι απλό αλλά ενώ μου
βγαίνει 0 το αποτέλεσμα που δίνεται είναι -ο0.

giannisn1990 · #2

έχουμε
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}(1-\frac{x^{2}}{\sin^{2} x})}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2} x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\sin^{2} x-x^{2}}$ είναι τώρα $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2} x}{x^{2}}=1$ και $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sin^{2} x-x^{2}=0$ όμως $\displaystyle |\sin x|\leq |x|\Leftrightarrow \sin^{2} x-x^{2}\leq 0$ οπότε $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin^{2} x-x^{2}}=-\infty$ και συνεπώς
τελικό αποτέλεσμα $-\infty$

johnbausis · #3

Αρχικώς ευχαριστώ για την ενασχόληση σου απλώς η αγκύλη είναι στον αριθμητή.(Λογικό να σε μπερδεψει
όπως είναι γραμμένο).

#4

Έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1} {{x^2 }} \cdot \left[ {1 - \frac{{x^2 }} {{\sin ^2 x}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1} {{x^2 }}\left[ {\frac{{\sin ^2 x - x^2 }} {{\sin ^2 x}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - x}} {{x^2 }}\frac{{\sin x + x}} {{x^2 }}\frac{1} {{\frac{{\sin ^2 x}} {{x^2 }}}}(1) }$ .
Είναι $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - x}} {{x^2 }}\mathop = \limits^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - 1}} {{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin x}} {2} = 0 }$ , αλλά και $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x + x}} {{x^2 }}\mathop = \limits^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x + 1}} {{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \sin x}} {2} = 0 }$ . Επιπλέον : $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1} {{\frac{{\sin ^2 x}} {{x^2 }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1} {{\left( {\frac{{\sin x}} {x}} \right)^2 }} = 1 }$ . Αρα η (1) δίνει όριο τελικά το μηδέν.

johnbausis · #5

Κάπως έτσι ήταν και η δική μου λύση.
Υ.Γ:Η συγκεκριμένη είναι υποερώτημα απο 10 θέμα σελ.379 β τόμος απο τα καινούρια βιβλία
του μπάρλα.Απο την λύση του Γιάννη προκύπτει ίσως που έχει γίνει το λάθος.

Ενα όριο...

Ενα όριο...

Re: Ενα όριο...

Re: Ενα όριο...

Re: Ενα όριο...

Re: Ενα όριο...

Μέλη σε σύνδεση