Περιοδική συνάρτηση

#1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει : υπάρχουν $a,b\in\mathbb{R}$ τέθοιοι ώστε η f(x+a)

είναι άρτια και η f(x+b)

είναι περιττή. Ας δειχθεί ότι η

είναι περιοδική,

mathxl · #2

Ευχαριστώ Αναστάση για την επισήμανση του λάθους μου στα πρόσημα...για την ιστορία αντί για -χ+β έβαζα -χ-β

#3

Η ευθεία

θα είναι άξονας συμμετρίας της $C_{f}$ και το σημείο $K\left( b,0\right)$ κέντρο συμμετρίας της. Μία βοήθεια μπορούμε να πάρουμε από την Γεωμετρία (δείτε viewtopic.php?f=22&t=1320 ). H Άλγεβρα μπορεί να περιμένει.
Μαυρογιάννης

#4

nsmavrogiannis έγραψε:Η ευθεία θα είναι άξονας συμμετρίας της $C_{f}$ και το σημείο $K\left( b,0\right)$ κέντρο συμμετρίας της. Μία βοήθεια μπορούμε να πάρουμε από την Γεωμετρία (δείτε viewtopic.php?f=22&t=1320 ). H Άλγεβρα μπορεί να περιμένει.
Μαυρογιάννης

Μετά την πολύ όμορφη αναγωγή του Νίκου στη γεωμετρία, παραθέτω και την αλγεβρκή επίλυση.
Είναι f(a+x)=f(a-x)

και

, άρα
έχουμε ότι
$f(4(b-a)+x)=f(b+(3b-4a+x))=-f(b-(3b-4a+x))=\\-f(a+(3a-2b-x))=-f(a-3a+2b+x)=-f(2(b-a)+x)$
Θέτοντας στην f(4(b-a)+x)=-f(2(b-a)+x)

το

στη θέση του

, έχουμε ότι f(2(b-a)+x)=-f(x)

, άρα τελικά
f(4(b-a)+x)=f(x)

.
Τα παραπάνω προυποθέτουν φυσικά την "υποψία" ότι η περίοδος είναι 4(b-a)

, κάτι το οποίο επιυγχάνεται με τη γεωμετρική αναγωγή του Νίκου!

#5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:Η ευθεία θα είναι άξονας συμμετρίας της $C_{f}$ και το σημείο $K\left( b,0\right)$ κέντρο συμμετρίας της. Μία βοήθεια μπορούμε να πάρουμε από την Γεωμετρία (δείτε viewtopic.php?f=22&t=1320 ). H Άλγεβρα μπορεί να περιμένει.
Μαυρογιάννης
Μετά την πολύ όμορφη αναγωγή του Νίκου στη γεωμετρία, παραθέτω και την αλγεβρκή επίλυση.
Είναι και , άρα
έχουμε ότι
$f(4(b-a)+x)=f(b+(3b-4a+x))=-f(b-(3b-4a+x))=\\-f(a+(3a-2b-x))=-f(a-3a+2b+x)=-f(2(b-a)+x)$
Θέτοντας στην το στη θέση του , έχουμε ότι , άρα τελικά
.
Τα παραπάνω προυποθέτουν φυσικά την "υποψία" ότι η περίοδος είναι , κάτι το οποίο επιυγχάνεται με τη γεωμετρική αναγωγή του Νίκου!

Εξαιρετικη ασκηση! Ας κανω τωρα μια-δυο παρατηρησεις, και ισως γραψω και αλλα αργοτερα:

Το οτι η περιοδος ειναι 4(β-α) προκυπτει και χωρις την γεωμετρικη αναγωγη: επαρκει μια γρηγορη ματια στην συναρτηση ημ(χ) με α = π/2 και β = π. Αλλα η γεωμετρικη αναγωγη ειναι χρησιμωτατη οχι μονο στην γεωμετρικη λυση (προφανως) μα και στην αλγεβρικη -- εγω τουλαχιστον ετσι εφτασα στα 4 βηματα που απαιτουνται, μεταφραζοντας την ακολουθια Β-Α3-Α2-Α1-Α (αναφορα εδω στο σχημα του Νικου).

Γιωργος Μπαλογλου

Περιοδική συνάρτηση

Περιοδική συνάρτηση

Re: Περιοδική συνάρτηση

Re: Περιοδική συνάρτηση

Re: Περιοδική συνάρτηση

Re: Περιοδική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση