Η συνάρτηση είναι αυτή

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

• $\displaystyle{ f\left( 0 \right) = 1 }$ και

• $\displaystyle{ f\left( {x + y} \right) - f\left( {x - y} \right) \leqslant y^2 + y,\;\forall x,y \in R }$

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ f\left( x \right) = \frac{x} {2} + 1,\;x \in R }$

Στάθης Κούτρας

#2

Μία λύση με παράγωγο:

Θέτω $\displaystyle{x+y=a,x-y=b,}$ οπότε είναι $\displaystyle{y=\frac{a-b}{2}}$ και η δεδομένη γράφεται

$\displaystyle{f(a)-f(b)\leq \frac{(a-b)^2}{4}+\frac{a-b}{2}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b\in \mathh{R}}$

ή αλλιώς

$\displaystyle{\left(f(a)-\frac{a}{2} \right)-\left(f(b)-\frac{b}{2} \right)\leq \frac{(a-b)^2}{4}.}$

Αν θέσω $\displaystyle{g(x)=f(x)-\frac{x}{2},}$

η προηγούμενη σχέση, λέει

$\displaystyle{g(a)-g(b)\leq \frac{(a-b)^2}{4}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b\in \mathh{R}}$ .

Εναλλάσοντας τα $\displaystyle{a,b}$ βρίσκουμε τελικά

$\displaystyle{|g(a)-g(b)|\leq \frac{(a-b)^2}{4}.}$

Από εδώ, προκύπτει για $\displaystyle{a \ne b}$

$\displaystyle{\left|\frac{g(a)-g(b)}{a-b} \right|\leq \frac{|a-b|}{4}}$ ,

οπότε, αν αφήσουμε το $\displaystyle{b\to a}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{g^{\prime}(a)=0}$ για κάθε $\displaystyle{a}$ .

Άρα η $\displaystyle{g}$ είναι σταθερή και επειδή $\displaystyle{g(0)=1}$ προκύπτει $\displaystyle{g(x)\equiv 1,}$ και το ζητούμενο έπεται.

#3

Και εδώ...

Η συνάρτηση είναι αυτή

Η συνάρτηση είναι αυτή

Re: Η συνάρτηση είναι αυτή

Re: Η συνάρτηση είναι αυτή

Μέλη σε σύνδεση