Επανάληψη στην συνέχεια

#1

Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία έχουμε ότι f(8)=5

και

γiα κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης A=f(2)+f(3)+f(4)

Ιωάννου Δημήτρης

chris · #2

$\displaystyle \boxed{f(x) \cdot f(f(x))=2 ,\forall x \in \mathbb{R}}(1)$

H (1)

για

το 8 δίνει: $\displaystyle f(8)f(f(8))=2 \Rightarrow f(5)=\frac{2}{5}$

Αφού η

είναι συνεχής και ισχύει:
$\displaystyle f(5)=\frac{2}{5}<2<3<4<5=f(8)$
απο Θ.Ε.Τ υπάρχουν $x_1,x_2,x_3 \in (5,8)$ ώστε: f(x_1)=2,f(x_2)=3,f(x_3)=4

οπότε η

για

το

διαδοχικά:

$\bullet$ \displaystyle{\displaystyle f(x_1)f(f(x_1))=2\Rightarrow f(2)=1

\bullet} $\displaystyle f(x_2)f(f(x_2))=2\Rightarrow f(3)=\frac{2}{3}$
$\bullet$ $\displaystyle f(x_3)f(f(x_3))=2\Rightarrow f(4)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle A=f(2)+f(3)+f(4)=1+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{13}{6}$

EDIT.Έκανα μια διόρθωση στο latex και να πω οτι έχω την ίδια απορία με τον Χρήστο κάτω και όχι μόνο για αυτή την άσκηση αλλά και για τις άλλες του ίδιου στυλ.

#3

Για $\displaystyle{ x = 8 }$ έχω $\displaystyle{ f(8)f(f(8)) = 2 \Rightarrow f(5) = \frac{2}{5} }$
Τώρα,αν $\displaystyle{ x \in \left[ {5,8} \right] }$ κι επειδή $\displaystyle{ f(5) \ne f(8) }$ απο το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών(πρόκειται για συνεχή συνάρτηση) προκύπτει πως
υπάρχει $\displaystyle{ x_1 \in \left( {5,8} \right) }$ ώστε $\displaystyle{ \frac{2}{5} < f(x_1 ) = 2 < 5 }$
Συνεπώς για $\displaystyle{ x = x_1 }$ λαμβάνω: $\displaystyle{ f(x_1 )f(f(x_1 )) = 2 \Rightarrow f(2) = 1 }$
Με το ίδιο σκεπτικό υπάρχει $\displaystyle{ x_2 \in \left( {5,8} \right):f(x_2 ) = 3(\frac{2}{5} < 3 < 5) }$
Άρα $\displaystyle{ f(x_2 )f(f(x_2 )) = 2 \Rightarrow f(3) = \frac{2}{3} }$
και υπάρχει $\displaystyle{ x_3 \in \left( {5,8} \right):f(x_3 ) = 4(\frac{2}{5} < 4 < 5) }$
απ'όπου
$\displaystyle{ f(x_3 )f(f(x_3 )) = 2 \Rightarrow f(4) = \frac{1}{2} }$
Τώρα $\displaystyle{ A = 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{{13}}{6} }$
Το ερωτημά μου είναι(όχι για εδώ όμως,στο φάκελο του καθηγητή θα ήταν πιό ωραία...) να υπάρχει άραγε τέτοια συνάρτηση;Πως μπορούμε να το διαπιστώσουμε;

#4

Καλησπέρα στους εκλεκτούς συναδέλφους Χρήστο Στραγάλη και Χρήστο Κυριαζή.
Πολύ ενδιαφέρον το θέμα που έθεσε ο "γάτος" της παρέας, για το αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Ασχολήθηκα κάμποση ώρα, αλλά δεν βρήκα απάντηση.

Η συνάρτηση πάντως
f(x)=5 , x<2/5

$f(x)=2/x , x\in[2/5,5]$

f(x)=2/5 , x>5

ικανοποιεί σχεδόν όλες τις προϋποθέσεις εκτός την f(8)=5

Θα ήταν πράγματι ενδιαφέρον να μας έδειχνε κάποιος τον τρόπο που μπορούμε να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση (αν τελικά υπάρχει).

#5

Μόλις είδα ότι ο Demetres έχει δώσει παράδειγμα μιας συνάρτησης με τις προϋποθέσεις που θέλουμε, στο θέμα "Υπάρχει συνάρτηση;"
Φίλε Demetres είσαι απίστευτος...

Επανάληψη στην συνέχεια

Επανάληψη στην συνέχεια

Re: Επανάληψη στην συνέχεια

Re: Επανάληψη στην συνέχεια

Re: Επανάληψη στην συνέχεια

Re: Επανάληψη στην συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση