Συνεχείς συναρτήσεις-ακριβώς 2 ρίζες

[Mulder]

Ν.δ.ό. δεν υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις , ώστε η εξίσωση να έχει ακριβώς δύο ρίζες.

[s.kap]

Κάπου έχει ξανασυζητηθεί αλλά έλα γύρευε που

Έστω πως συμβαίνει το αντίθετο και με

Άρα για κάθε θα έχουμε ή ή .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι ισχύει το πρώτο

Αν ονομάσουμε το ελάχιστο της στο , τότε θα αληθεύει ένα εκ των επομένων

δύο

Α) Η συνάρτηση παίρνει την τιμή μία ακριβώς φορά στο και μία ακριβώς φορά εκτός του , ας πούμε

στο

ή Β) Η συνάρτηση παίρνει την τιμή ακριβώς δύο φορές στα με


Αν αληθεύει το πρώτο, τότε παίρνουμε ένα

και από το Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής θα έχουμε ότι υπάρχουν

με , άτοπο

Αν αληθεύει το δεύτερο, τότε θα έχουμε ότι υπάρχουν με

με

Έστω και , τότε θα υπάρχουν με (επίσης από το Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής) , επίσης άτοπο.

[Mulder]

Σωστά.Μπορείς να μου ορίσεις και μια συνεχή συνάρτηση για την οποία να έχει δυο τουλάχιστον ρίζες η εξίσωση ;

[KARKAR]

,άπειρες λύσεις η , για κάθε

[Mihalis_Lambrou]

Σωστά.Μπορείς να μου ορίσεις και μια συνεχή συνάρτηση για την οποία να έχει δυο τουλάχιστον ρίζες η εξίσωση ;

Το θέμα έχει συζητηθεί πολλές φορές στο φόρουμ, αλλά άντε βρες το. Πάντως είχα επισυνάψει και κάποιο σχήμα που, για οποιοδήποτε δοθέν σταθερό Ν, η εν λόγω εξίσωση έχει ακριβώς 2Ν+1 ρίζες. Δηλαδή έχουμε αρκετά πιο ενδιαφέρουσα κατάσταση από αυτήν που ζητά η παραπάνω ερώτηση.

Μ.

[Mihalis_Lambrou]

Σωστά.Μπορείς να μου ορίσεις και μια συνεχή συνάρτηση για την οποία να έχει δυο τουλάχιστον ρίζες η εξίσωση ;

Δεν βρίσκω το σχήμα που είχα βάλει κάποτε, οπότε έφτιαξα νέο.
Εδώ κάθε οριζόντια τέμνει το γράφημα σε ακριβώς τρία σημεία.
Μπορούμε εύκολα να κάνουμε παραλλαγή του που να τέμενει σε ακριβώς 5, ή ακριβώς 7, ... και λοιπά.

Μ