Αναζήτηση ορίου

PanosG · #1

Για ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω ασκησούλα και πείτε μου τη γνώμη σας.
Έστω η συνάρτηση
$\displaystyle f(x)=ln(-x^2+7x-10)+3\sqrt{cos(\pi\sqrt{x^2+7})-1}-ln2$
1) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0

2)Έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου όταν το $x\rightarrow 3$ της παραπάνω συνάρτησης

#2

PanosG έγραψε:Για ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω ασκησούλα και πείτε μου τη γνώμη σας.
Έστω η συνάρτηση
$\displaystyle f(x)=ln(-x^2+7x-10)+3\sqrt{cos(\pi\sqrt{x^2+7})-1}-ln2$
1) Να λυθεί η εξίσωση
2)Έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου όταν το $x\rightarrow 3$ της παραπάνω συνάρτησης

2) Όχι διότι δεν ορίζεται η υπόριζη ποσότητα για

κοντά στο

με $x\neq3$ .
1) Ούτως ή άλλως η συνάρτηση ορίζεται μόνο για x=3

, τιμή που τη μηδενίζει κιόλας.

Έχουμε δηλαδή $f:\{3\}\to\mathbb R$ με f(3)=0

.

#3

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} - x^2 + 7x - 10 > 0 \hfill \\ \cos \left( {\pi \sqrt {x^2 + 7} } \right) - 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\cos \left( {\pi \sqrt {x^2 + 7} } \right) \leqslant 1} \left\{ \begin{gathered} x \in \left( {2,5} \right) \\ \cos \left( {\pi \sqrt {x^2 + 7} } \right) = 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in \left( {2,5} \right) \\ \pi \sqrt {x^2 + 7} = 2k\pi ,k \in Z \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} x \in \left( {2,5} \right) \\ \sqrt {x^2 + 7} = 2k,k \in Z \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sqrt {x^2 + 7} \geqslant \sqrt 7 > 2} \left\{ \begin{gathered} x \in \left( {2,5} \right) \\ x^2 + 7 = 4k^2 ,k \in Z,k \geqslant 1 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in \left( {2,5} \right) \\ x^2 = 4k^2 - 7,k \in Z,k \geqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} x \in \left( {2,5} \right) \\ x = \pm \sqrt {4k^2 - 7} ,k \in Z,k \geqslant 2 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow \boxed{A_f = \left\{ 3 \right\}} }$

Είναι προφανές από το πεδίο ορισμού δεν έχει νόημα το $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) }$

Στάθης

#4

Εγώ έχω ένα θεματάκι με το σύνολο ορισμού της συνάρτησης.

Το όρισμα του λογαριθμου πρέπει και αρκεί να είναι θετικό.Άρα:

$\displaystyle{ - x^2 + 7x - 10 > 0 \Leftrightarrow ...2 < x < 5 }$

Μετά πρέπει και αρκεί το υπόριζο να είναι μη αρνητικό.Τούτο εστί:

$\displaystyle{ \cos (\pi \sqrt {x^2 + 7} ) - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \cos (\pi \sqrt {x^2 + 7} ) \ge 1 (1) }$

Όπως είναι γνωστό όμως: $\displaystyle{ \cos (\pi \sqrt {x^2 + 7} ) \le 1 }$

Επομένως η μόνη δόση αλήθειας της (1) είναι όταν και μόνο όταν:

$\displaystyle{ \cos (\pi \sqrt {x^2 + 7} ) = 1 \Leftrightarrow \pi \sqrt {x^2 + 7} = 2k\pi ,k > 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} ...x = \sqrt {4k^2 - 7} ,k > \left[ {\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right] + 1\sqrt {} }$

Στη συναλήθευση έχω:

$\displaystyle{ \frac{{\sqrt {11} }}{2} < k < 2\sqrt 2 }$ δηλαδή $\displaystyle{ k = 2 }$

(Αν έκανα σωστά τις πράξεις)
Με λίγα λόγια γιατί το μακρυγόρησα,έχω διακριτές τιμές ορισμού για τη συνάρτηση.Επομένως κάτι τρέχει.

Αναζήτηση ορίου

Αναζήτηση ορίου

Re: Αναζήτηση ορίου

Re: Αναζήτηση ορίου

Re: Αναζήτηση ορίου

Μέλη σε σύνδεση