Θετική και γνησίως αύξουσα

#1

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f,g,h: \mathbb{R}^*_+\to \mathbb{R}^*.$
Η

είναι γνησίως αύξουσα, η

φθίνουσα και θετική και ισχύει

$\displaystyle \frac{h(y)}{f(y)}>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}>\frac{h(x)}{f(x)}, \ \forall x>y>0.$

Να δείξετε ότι $f(x)>0, \ \forall x>0$ και ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

#2

socrates έγραψε:Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f,g,h: \mathbb{R}^*_+\to \mathbb{R}^*.$
Η είναι γνησίως αύξουσα, η φθίνουσα και θετική και ισχύει

$\displaystyle \frac{h(y)}{f(y)}>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}>\frac{h(x)}{f(x)}, \ \forall x>y>0.$

Να δείξετε ότι $f(x)>0, \ \forall x>0$ και ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

Κατ' αρχάς θα δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι $f(x)>0, \forall x>0$

Έστω ότι υπάρχει a>0

με

. Τότε $\displaystyle \frac{h(a)}{f(a)}>\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}, \ \forall x>a>0$ , άρα

$\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}<0, \ \forall x>a>0 \Rightarrow f(x)-f(a)<0, \ \forall x>a \Rightarrow f(x)<0,\ \forall x>a}$

Άρα $\displaystyle 0>\frac{h(y)}{f(y)}>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}, \ \forall x>y>a.$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}{\frac {g(x)-g(y)}{x-y}}<0,\ \forall x>y>a}$

$\displaystyle{\Rightarrow f(x)<f(y)<0,\ \forall x>y>a}$ (1)

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(a,+\infty)$

(1) $\displaystyle{\Rightarrow -f(x)>-f(y)>0 \Rightarrow -\frac {1}{f(x)}<-\frac {1}{f(y)},\ \forall x>y>a}$

$\displaystyle{\Rightarrow -\frac {h(x)}{f(x)}<-\frac {h(y)}{f(y)} \Rightarrow \frac {h(x)}{f(x)}>\frac {h(y)}{f(y)},\ \forall x>y>a}$ , άτοπο.

Τώρα το ότι η

είναι γνησίως αύξουσα είναι άμεση συνέπεια της δοθείσας.

Θετική και γνησίως αύξουσα

Θετική και γνησίως αύξουσα

Re: Θετική και γνησίως αύξουσα

Μέλη σε σύνδεση