ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

#1

...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα...για την καλοκαιρινή προετοιμασία....

Θεωρούμε την συνάρτηση $f:(0,\,\,+\infty )\to R$ που ικανοποιεί την σχέση $f(x){{e}^{f(x)}}=x\ln x$ για κάθε x>1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο $(1,\,+\infty )$
β) Να δειχθεί ότι f(e)=1

γ) Να λυθεί η ανισότητα ${{f}^{2}}(x)\le (1+f(2))f(x)-f(2)$
δ) (..μεταμεσονύκτιο..) Να δειχθεί ότι ισχύει $f(x)<x,\,\,\,x>1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

α)Εύκολα παρατηρούμε πως για $\displaystyle{ x > 1 \Rightarrow f(x) > 0 }$ .
Τώρα υποθέτω πως η f δεν είναι γνησίως αύξουσα.
Αρα υπάρχουν $\displaystyle{ 1 < x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1 ) \ge f(x_2 ) > 0(1) \Rightarrow e^{f(x_1 )} \ge e^{f(x_2 )} > 0(2) }$
Πολλάπλασιάζοντας τις $\displaystyle{ (1),(2) }$ λαμβάνω $\displaystyle{ f(x_1 )e^{f(x_1 )} \ge f(x_2 )e^{f(x_2 )} \Rightarrow x_1 \ln x_1 \ge x_2 \ln x_2 }$ άτοπο γιατί:
$\displaystyle{ 1 < x_1 < x_2 (3) \Rightarrow 0 < \ln x_1 < \ln x_2 (4) }$
Πολλαπλασιάζοντας τις $\displaystyle{ (3),(4) }$ έχω $\displaystyle{ x_1 \ln x_1 < x_2 \ln x_2 }$
Συνεπώς:
$\displaystyle{ \forall x_1 ,x_2 ,x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1 ) < f(x_2 ) }$ άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα!

#3

Να κάνω την αρχή
Για x>1

έχουμε ότι $lnx>0\Leftrightarrow xlnx>0$ Αρα $f(x)\cdot e^{f(x)}>0$ και άρα f(x)>0
Έστω τώρα ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο $(1,+\infty)$ τότε θα έχουμε ότι
Για κάθε $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})\Rightarrow f(x_{1})\cdot e^{^f(x_{1})}\geq f(x_{2})\cdot e^{^f(x_{2})}$
$\Rightarrow x_{1}\cdot ln(x_{1})\geq x_{2}\cdot ln(x_{2})$ $\Rightarrow ln(x_{1})^{x_{1}}\geq ln(x_{2})^{x_{2}}$
Άτοπο γιατί $x_{1}<x_{2}$

Με πρόλαβε ο Χρήστος αλλά την αφήνω

Χρήστος

#4

β) Για $\displaystyle{ x = e }$ προκύπτει: $\displaystyle{ f(e)e^{f(e)} = e }$
Αν $\displaystyle{ f(e) > 1 \Rightarrow e^{f(e)} > e }$ άρα $\displaystyle{ f(e)e^{f(e)} > e }$ άτοπο.
Αν $\displaystyle{ f(e) < 1 \Rightarrow e^{f(e)} < e }$ δηλαδή και $\displaystyle{ f(e)e^{f(e)} < e }$ .Τι μένει; Μα φυσικά $\displaystyle{ f(e) = 1 }$

#5

δ) Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $g(x)=x\cdot e^x$
τότε για κάθε x>1 η g είναι γνησίως αύξουσα και η αρχική σχέση γίνεται
$f(x)\cdot e^{f(x)}= x\cdot lnx$
$\Leftrightarrow g(f(x))=g(lnx)$ και αφού η g είναι 1:1 τότε f(x) = lnx για κάθε x>1
και άρα f(x) < x για κάθε x>1

Χρήστος

εκ παραδρομής έγραψα ανάποδα την τελευταία ανισότητα

#6

δ)Αν υποθέσουμε πως υπάρχει $\displaystyle{ x_0 > 1 }$ με $\displaystyle{ f(x_0 ) \ge x_0 (5) \Rightarrow e^{f(x_0 )} \ge e^{x_0 } (6) }$
Αν πολλαπλασιάσω τις $\displaystyle{ (5),(6) }$ θα πάρω $\displaystyle{ f(x_0 )e^{f(x_0 )} \ge x_0 e^{x_0 } \Rightarrow x_0 \ln x_0 \ge x_0 e^{x_0 } \mathop \Rightarrow \limits^{x_0 > 1} \ln x_0 \ge e^{x_0 } }$
Αυτό είναι άτοπο όμως και μπορούμε να επικαλεστούμε και τη γραφική παράσταση των δύο συναρτήσεων αλλά και τις βασικές ανισότητες

$\displaystyle{ e^x \ge x + 1 > x - 1 \ge \ln x,x > 0 }$

Όσον αφορά το γ) έχω κάποιες επιφυλάξεις και περιμένω μήνυμα από τον Βασίλη.

#7

εδώ είναι

#8

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλησπερίζω την εκλεκτή παρέα...για την καλοκαιρινή προετοιμασία....

Θεωρούμε την συνάρτηση $f:(0,\,\,+\infty )\to R$ που ικανοποιεί την σχέση $f(x){{e}^{f(x)}}=x\ln x$ για κάθε
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο $(1,\,+\infty )$
β) Να δειχθεί ότι
γ) Να λυθεί η ανισότητα ${{f}^{2}}(x)\le (1+f(2))f(x)-f(2)$
δ) (..μεταμεσονύκτιο..) Να δειχθεί ότι ισχύει $f(x)<x,\,\,\,x>1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

έκανα την διόρθωση στο πρόσημο μετα την επισήμανση του Χρήστου..
...συγγνώμη σε όσους ταλαιπώρησα με την αβλεψία μου...

#9

Για να τελειώσω με την άσκηση και μετά από τη διόρθωση του Βασίλη,έχω για το γ):
Η ανίσωση γράφεται:

$\displaystyle{ f^2 (x) - (1 + f(2))f(x) + f(2) \le 0 }$
Είναι $\displaystyle{ \Delta = (1 + f(2))^2 - 4f(2) = (1 - f(2))^2 > 0 }$ γιατί αποκλείεται $\displaystyle{ f(2) = 1 }$ (είναι $\displaystyle{ f(e) = 1 }$ και $\displaystyle{ 1 - 1 }$ συνάρτηση αφού είναι γνησίως αύξουσα)
Τότε έχω:
$\displaystyle{ \frac{{1 + f(2) - \left( {1 - f(2)} \right)}}{2} \le f(x) \le \frac{{1 + f(2) + 1 - f(2)}}{2} \Rightarrow f(2) \le f(x) \le 1 \Rightarrow f(2) \le f(x) \le f(e)\mathop \Rightarrow \limits^{f \uparrow } 2 \le x \le e }(**)$
Εξαιρετική σε όλα της η άσκηση κατά την γνώμη μου.Οι καλοί μαθητές θα την καταευχαριστηθούν.

(**)Εύκολα μπορώ να δείξω πως $\displaystyle{ 1 - f(2) > 0 }$ ώστε να είναι υπερπλήρης η λύση.

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Re: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Μέλη σε σύνδεση