Άλλο ένα όριο

#1

Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}}$ . (Χωρίς L' Hospital)

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}}$ . (Χωρίς L' Hospital)

Καλόόόό.

$\displaystyle{\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}} = \frac{ \frac {x^a-a^a}{x-a} - \frac {a^x-a^a}{x-a} }{\frac {x^x-a^a}{x-a}}$

Υπολογίζουμε τώρα τα όρια στο

των τριών κλασμάτων χωριστά. Και για τα τρία χρησιμοποιούμε τον ορισμό της παραγώγου στο

. Συγκεκριμένα,

Αν $\displaystyle { f(x) = x^a$ τότε $f^{\prime }(x) = ax^{a-1}$ και $\displaystyle \lim _{x\to a}\frac {x^a-a^a}{x-a}= f^{\prime }(a) = aa^{a-1}= a^a$ .

Όμοια, αν $\displaystyle { g(x) = a^x$ τότε $g^{\prime }(x) = a^{x}\ln a$ και $\displaystyle \lim _{x\to a}\frac {a^x-a^a}{x-a}= g^{\prime }(a) = a^{a}\ln a$ .

Τέλος, αν $\displaystyle { h(x) = x^x$ τότε $h^{\prime }(x) = x^{x}(1+\ln x)$ και $\displaystyle \lim _{x\to a}\frac {x^x-a^a}{x-a}= h^{\prime }(a) = a^{a}(1+\ln a)$ .

Όλα μαζί, $\displaystyle{\lim _{x\to a}\frac{x^a-a^x}{x^x-a^a}} = \frac{ f^{\prime}(a) - g^{\prime}(a) }{h^{\prime}(a) }= \frac {a^a-a^a\ln a}{a^a(1+\ln a)} = \frac {1-\ln a}{1+\ln a}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: όπως παρατήρησε ο Pla.pa.s σε Π.Μ., η μέθοδος λειτουργεί όταν ο παρονομαστής είναι $\ne 0$ , δηλαδή $a\ne 1/e$ . Σωστά.

Άλλο ένα όριο

Άλλο ένα όριο

Re: Άλλο ένα όριο

Μέλη σε σύνδεση