ΙΜΟ 2011

G.Tsikaloudakis · #1

Με αφορμή το 3ο ΘΕΜΑ ΙΜΟ 2011¨

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f, στο R, για τις οποίες ισχύει:

$f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right)$ , $x \in R$

#2

Δε χρειάζεται η συνέχεια...

Για y=0

είναι

ενώ για

οπότε $f\equiv 0.$

Pla.pa.s · #3

Βέβαια υπάρχει και άλλος "τρόπος" να δειχθεί το παραπάνω.
Για όσες συνεχείς συναρτήσεις ισχύει f(x+y)=yf(x)+f(f(x))

, τότε θα ισχύει και σίγουρα $f(x+y)\leq yf(x)+f(f(x))$ . Σύμφωνα με το θέμα όμως, η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί αυτήν τη συνθήκη είναι η f(x)=0

. Συνεπώς αν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

τέτοια ώστε f(x+y)=yf(x)+f(f(x))

, τότε αναγκαστικά θα είναι η f(x)=0

, η οποία εύκολα διαπιστώνουμε ότι πράγματι συμβαδίζει με τις υποθέσεις.

G.Tsikaloudakis · #4

Αν όπου y θέσουμε f(x)-x , προκύπτει:

$f(x)\left( {f(x) - x} \right) = 0$ (1)

Από την (1) εύκολα προκύπτει : $f(x) = 0{\rm{ }}{\rm{, x}} \in {\rm{R}}$

#5

Ενδιαφέρον και το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+$ τέτοιες, ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^+$ να ισχύει

$f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right).$

#6

socrates έγραψε:Ενδιαφέρον και το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+$ τέτοιες, ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^+$ να ισχύει

$f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right).$

Θα κάνω χρήση του εξής: Αν $yA(x)+B(x) = yC(x)+D(x), \forall y >0, x>0$ τότε $A(x)=C(x), \, B(x)=D(x) , \forall x>0$ . H απόδειξη είναι απλή καθώς αν π.χ. ίσχυε A(x) > C(x)

για κάποιο συγκεκριμένο

τότε η σχέση y( A(x)-C(x)) = D(x)-B(x)

οδηγεί σε άτοπο παίρνοντας όριο του

στο άπειρο. Από αυτό έπεται και η ισότητα B(x)=D(x)

.

Τώρα, η αρχική για κάθε σταθερό c>0

δίνει

$f\left( {x + y+c} \right) = (y+c)f(x) + f\left( {f(x)} \right)$ αλλά επίσης δίνει

$f\left( {x + y+c} \right) = yf(x+c) + f\left( {f(x+c)} \right)$

Από το προηγούμενο έπεται f(x)=f(x+c)

. Από αυτό είναι απλό να δείξουμε ότι η

είναι σταθερή και, πίσω στην αρχική, ότι είναι σταθερά

.

Ελπίζω να μην κάνω λάθος γιατί είμαι ξενύχτης (προετοιμασία για τον Καγκουρό, γαρ) και πάω για ύπνο τώρα!

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
socrates έγραψε:Ενδιαφέρον και το επόμενο:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^+\to \Bbb{R}^+$ τέτοιες, ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^+$ να ισχύει

$f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right).$
Θα κάνω χρήση του εξής: Αν $yA(x)+B(x) = yC(x)+D(x), \forall y >0, x>0$ τότε $A(x)=C(x), \, B(x)=D(x) , \forall x>0$ . H απόδειξη είναι απλή καθώς αν π.χ. ίσχυε για κάποιο συγκεκριμένο τότε η σχέση οδηγεί σε άτοπο παίρνοντας όριο του στο άπειρο. Από αυτό έπεται και η ισότητα .

Τώρα, η αρχική για κάθε σταθερό δίνει

$f\left( {x + y+c} \right) = (y+c)f(x) + f\left( {f(x)} \right)$ αλλά επίσης δίνει

$f\left( {x + y+c} \right) = yf(x+c) + f\left( {f(x+c)} \right)$

Από το προηγούμενο έπεται . Από αυτό είναι απλό να δείξουμε ότι η είναι σταθερή και, πίσω στην αρχική, ότι είναι σταθερά .

Ελπίζω να μην κάνω λάθος γιατί είμαι ξενύχτης (προετοιμασία για τον Καγκουρό, γαρ) και πάω για ύπνο τώρα!

ΙΜΟ 2011

ΙΜΟ 2011

Re: ΙΜΟ 2011

Re: ΙΜΟ 2011

Re: ΙΜΟ 2011

Re: ΙΜΟ 2011

Re: ΙΜΟ 2011

Re: ΙΜΟ 2011

Μέλη σε σύνδεση