Βρείτε τις f,g!

#1

Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

2 f(x)-g(x)=f(y)-y,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ και

$f(x) g(x)\geq x+1 ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

hsiodos · #2

$\displaystyle{ 2f(x) - g(x) = f(y) - y\,\,\,(1)\,}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$

Θέτουμε $\displaystyle{y = x\,}$ οπότε: $\displaystyle{ (1) \Rightarrow f(x) - g(x) = - x\,\,(2)\,}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

$\displaystyle{ (1)\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} \,\,f(x) - x = f(y) - y\,\,\,(3)\,}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$

Θέτουμε $\displaystyle{y = 0\,}$ οπότε: $\displaystyle{(3) \Rightarrow f(x) - x = f(0)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ $\displaystyle{ \Rightarrow f(x) = x + c\,\,(4)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ , $\displaystyle{ c}$ πραγματικός σταθερός.

$\displaystyle{ (2)\mathop \Rightarrow \limits^{(4)} \,\,g(x) = 2x + c\,\,(5)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ απαιτούμε:

$\displaystyle{ f(x)g(x) \ge x + 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{(4) \wedge (5)} \,\,2x^2 + 3cx + c^2 \ge x + 1 \Leftrightarrow 2x^2 + (3c - 1)x + c^2 - 1 \ge 0\,\,}$

Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν: $\displaystyle{ \Delta \le 0 \Leftrightarrow (3c - 1)^2 - 8(c^2 - 1) \le 0 \Leftrightarrow c^2 - 6c + 9 \le 0 \Leftrightarrow (c - 3)^2 \le 0 \Leftrightarrow (c - 3)^2 = 0 \Leftrightarrow c = 3}$

Έτσι για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ βρίσκουμε $\displaystyle{ f(x) = x + 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g(x) = 2x + 3}$ που επαληθεύουν και την (1) .

σχόλιο: Από την (3) προκύπτει ότι η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f{'} (x) = 1}$

Γιώργος

#3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ και

$f(x) g(x)\geq x+1 ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Μεταβάλοντας το

στην πρώτη σχέση βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος (και άρα το δεξί) μένει σταθερό. Άρα f(y)=y+c

. Τώρα η πρώτη δίνει 2(x+c) - g(x)=c

άρα

. Οι δύο αυτές στην δεύτερη δίνουν $2x^2+(3c-1)x+c^2-1 \ge 0$ για κάθε

. Άρα η διακρίνουσα $c^2-6c+9\le0$ ή $(c-3)^2 \le 0$ . Οπότε τελικά c=3

και

$f(x)=x+3, \, g(x) = 2x+3$ , που επαληθεύουν τις αρχικές.

Edit. Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα.

Βρείτε τις f,g!

Βρείτε τις f,g!

Re: Βρείτε τις f,g!

Re: Βρείτε τις f,g!

Μέλη σε σύνδεση