Σύνολο τιμών

G.Tsikaloudakis · #1

Αν

, τοτε έχουμε:

g(f(x)) = x

με

και η g 1-1 , οπότε:

$f(R) = g^{ - 1} (R) = R$ , αφου εύκολα (όρια -συνεχεια)βρίσκουμε ότι g(R) = R

#2

Μπορείς να δεις και μία παρόμοια εδώ viewtopic.php?f=61&t=13658&hilit=+%CE%B ... E%B1%CF%82

#3

margk έγραψε:Ας δώσω και εγώ μια λύση και θα ήθελα να προσεχθεί λίγο ο συλλογισμός με τα κόκκινα γράμματα, μήπως
είναι λανθασμένος.
Η f είναι 1-1 (αποδεικνύεται με χρήση του ορισμού). Αν $y\varepsilon f(R)$ τότε υπάρχει
ένα ακριβώς $x\varepsilon R$ ώστε , άρα $x=f^{-1}(y)$ .
Στη δεδομένη ισότητα $f^{3}(x)+f(x)+1=x$ θέτω όπου x το $f^{-1}(y)$ και
έχω $y^{3}+y+1=f^{-1}(y)$ .Άρα η $f^{-1}$ έχει πεδίο ορισμού το R(το βρίσκω από τον τύπο της) ,άρα η f έχει σύνολο τιμών το R.

Είναι λάθος. Και το λάθος βρίσκεται εδώ

Στη δεδομένη ισότητα $f^{3}(x)+f(x)+1=x$ θέτω όπου x το $f^{-1}(y)$

Αν θέσεις όπου

το $f^{-1}(y)$ , τότε αυτό που προκύπτει ισχύει για ποια

;

Αν υποθέσεις ότι ισχύει για κάθε $y \in \mathbb{R}$ , τότε αυτομάτως υπέθεσες ότι το πεδίο ορισμού

της $f^{-1}$ είναι όλο το σύνολο των πραγματικών, δηλαδή δέχτηκες αυτό που ψάχνεις να

αποδείξεις...

k-ser · #4

margk έγραψε:Στη δεδομένη ισότητα $\displaystyle \color {red} f^{3}(x)+f(x)+1=x$ θέτω όπου $\displaystyle \color {red} x$ το $\displaystyle \color {red} f^{-1}(y)$ και
έχω $\displaystyle \color {red} y^{3}+y+1=f^{-1}(y)$ .Άρα η $\displaystyle \color {red} f^{-1}$ έχει πεδίο ορισμού το R(το βρίσκω από τον τύπο της) ,άρα η f έχει σύνολο τιμών το R.

Όταν στον τύπο μιας συνάρτησης, δεν μας δίνονται οι τιμές της μεταβλητής για τις οποίες αυτός ισχύει τότε και μόνο τότε θα υποθέσουμε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το ευρύτερο σύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού αυτός ο τύπος.
Διαφορετικά το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο των τιμών της μεταβλητής που μας δίνονται.

Έτσι, στο παραπάνω, ο "τύπος" $\displaystyle \color {red} y^{3}+y+1=f^{-1}(y)$ ισχύει για $\displaystyle \color {red} y \in f\left(\mathbb{R}\right)$ και συνεπώς το πεδίο ορισμού της $\displaystyle f^{-1}$ είναι το $\displaystyle f\left(\mathbb{R}\right)$ .

Ελπίζω να βοήθησα....

Φιλικά

chris · #5

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Πίσω στην άσκηση:
1ος τρόπος:

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=x^3+x+1,x \in \mathbb{R}$ που είναι παραγωγίσιμη με $g'(x)=3x^2+1>0,x \in \mathbb{R}$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της!

Έστω τυχαίο $y \in \mathbb{R}$ και θέτουμε y^3+y+1=x

προσπαθώντας να αποδείξουμε οτι υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ ώστε f(x)=y

.Πράγματι:
$\displaystyle y^3+y+1=x\Leftrightarrow y^3+y+1=f^3(x)+f(x)+1\Leftrightarrow g(y)=g(f(x))\Leftrightarrow f(x)=y$
Επομένως $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

2ος τρόπος:

Θεωρούμε τυχαίο $y\in \mathbb{R}$ και θέτουμε x=y^3+y+1

.
Τότε

και επομένως:
$\displaystyle \left(f(x)-y \right)\left[f^2(x)+f(x)y+y^2+1 \right]=0\Leftrightarrow\left(f(x)-y \right)\left[\left(f(x)+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}+1 \right]=0 \Leftrightarrow f(x)=y$

διότι $\displaystyle \left(f(x)+\frac{y}{2} \right)^2+\frac{3y^2}{4}+1 >0$
άρα $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.$

Τις παραπάνω δύο λύσεις τις είχα ξαναδώσει και παλιά σε μια συζήτηση και τώρα απλώς τις αντέγραψα.

Φιλικά

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση