Βοlzano

Christiano · #1

Η

συνεχής στο $\mathbb{R}$ και ισχύει: f(1)+f(2)+f(3)=0

. Nα δείξετε ότι η f(x)=0

έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\mathbb{R}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Kαλό μεσημέρι.

α) Αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς f(1),f(2),f(3)

είναι ίσος με μηδέν, τότε η

έχει ρίζα κάποιον ή κάποιους από τους αριθμούς 1,2,3

.

β) Αν ισχύει $f(1)f(2)f(3)\ne 0$ τότε, λόγω του ότι f(1)+f(2)+f(3)=0

, έχουμε ότι αποκλείεται οι τρεις αριθμοί να είναι ομόσημοι.

Άρα, υπάρχουν πάντα δύο ετερόσημοι, δηλαδή υπάρχουν $a,b\in \{1,2,3\}$ με a<b

ώστε

.

H

επιπλέον είναι συνεχής στο [a,b]

άρα από το Θ. Βolzano, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της στο (a,b)

.

Εdit: Διόρθωσα δυο τυπογραφικά...

KARKAR · #3

Αν οι

είναι όλοι $\neq 0$ , τότε υπάρχει και αρνητικός και θετικός αναμεσά τους !

parmenides51 · #4

$\displaystyle{f(1)+f(2)+f(3)=0}$ (1)

Έστω ότι η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f(x)\neq 0}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ τότε θα διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $\displaystyle{f(x)> 0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$
οπότε $\left\{\begin{matrix} f(1)>0 \\ f(2)>0\\ f(3)>0 \end{matrix}\right}\mathop \Rightarrow \limits^{(+)} f(1)+f(2)+f(3)>0 \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 0>0 }$ άτοπο

Άρα η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

greek_sorcerer · #5

Christiano έγραψε:Η συνεχής στο $\mathbb{R}$ και ισχύει: . Nα δείξετε ότι η έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\mathbb{R}$ .

Η άσκηση δεν θα μπορούσε να διατυπωθεί γνωρίζοντας μόνο 2 τιμές της f(x)?
f(1)+f(2)=0

parmenides51 · #6

Christiano έγραψε:Η συνεχής στο $\mathbb{R}$ και ισχύει: . Nα δείξετε ότι η έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\mathbb{R}$ .

Άλλες δυο λύσεις με ίδιο ξεκίνημα:

$\displaystyle{f(1)+f(2)+f(3)=0}$ (1)
Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,4]\subseteq \mathbb{R}}$ ως συνεχής στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Από το θεώρημα μέγιστης κι ελαχίστης τιμής στο $\displaystyle{[0,4]}$ θα υπάρχουν
$\displaystyle{x_1,x_2\in [0,4]}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f(x_1)=m}$ , $\displaystyle{f(x_2)=M}$ και $\displaystyle{m\leq f(x) \leq M}$ άρα
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} m\leq f(1)\leq M \\ m\leq f(2)\leq M \\ m\leq f(3)\leq M \end{matrix}\right}\mathop \Rightarrow \limits^{(+)} 3m\leq f(1)+f(2)+f(3)\leq 3M }$
$\displaystyle{\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 3m\leq 0 \leq 3M \Rightarrow \frac{3m}{3}\leq \frac{0}{3} \leq \frac{3M}{3} \Rightarrow m\leq 0 \leq M}$ (2)

α' τρόπος

(2) $\displaystyle{ \Rightarrow f(x_1)\leq 0 \leq f(x_2)}$ δηλαδή ο αριθμός $\displaystyle{0}$ βρίσκεται ανάμεσα στα $\displaystyle{f(x_1),f(x_2)}$ .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $\displaystyle{x_1<x_2}$ .
Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[x_1,x_2]\subseteq [0,4]}$ ως συνεχής στο $\displaystyle{[0,4]}$ .

Από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών προκύπτει πως ο αριθμός $\displaystyle{0}$ θα είναι τιμή της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{(x_1,x_2)\subseteq [0,4]}$
δηλαδή θα υπάρχει $\displaystyle{x_o \in (x_1,x_2)]}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_o) =0}$ κι επειδή $\displaystyle{(x_1,x_2)\subseteq[0,4]\subseteq \mathbb{R}}$
θα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{x_o \in \mathbb{R}}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_o) =0}$ .

Συνεπώς η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

β' τρόπος

Αν η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ είναι σταθερή στο $\displaystyle{[0,4]}$ τότε $\displaystyle{m=0=M}$ λόγω (2) οπότε $\displaystyle{ f(x_1)= 0 = f(x_2)}$
κι επειδή $\displaystyle{[0,4]\subseteq \mathbb{R}}$ θα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{x_1 \in \mathbb{R}}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_1) =0}$ .

Αν η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ δεν είναι σταθερή στο $\displaystyle{[0,4]}$ τότε $\displaystyle{m<0<M}$ λόγω (2)
οπότε το σύνολο τιμών της στο $\displaystyle{[0,4]}$ θα είναι το $\displaystyle{[m,M]}$
κι επειδή κάθε αριθμός στο σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ είναι και τιμή της,
τότε θα υπάρχει $\displaystyle{x_o \in [0,4]}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_o) =0}$ κι επειδή $\displaystyle{[0,4]\subseteq \mathbb{R}}$
θα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{x_o \in \mathbb{R}}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_o) =0}$ .

Συνεπώς η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

edit's: Διόρθωση τυπογραφικών στο Latex και κλειστών - ανοιχτών διαστημάτων

parmenides51 · #7

greek_sorcerer έγραψε:
Christiano έγραψε:Η συνεχής στο $\mathbb{R}$ και ισχύει: . Nα δείξετε ότι η έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\mathbb{R}$ .
Η άσκηση δεν θα μπορούσε να διατυπωθεί γνωρίζοντας μόνο 2 τιμές της f(x)?

Αν γνωρίζεις σχέση με μόνο δυο τιμές της απλουστεύεται τελείως η άσκηση γιατί θα είχαμε $\displaystyle{f(1)+f(2)=0 \Rightarrow f(2)=-f(1)}$
οπότε θα είχαμε $\displaystyle{f(1)f(2)= f(1)\left(-f(1)\rioht)=-f^2(1)\leq 0}$ που προχωράει πιο εύκολα με Θεώρημα Βolzano ως εξής:

$\displaystyle{f(1)f(2)\leq 0 \Rightarrow f(1)f(2)= 0}$ ή $\displaystyle{f(1)f(2)< 0}$
οπότε ή $\displaystyle{f(1)=0}$ ή $\displaystyle{f(2)=0}$ ή από Θεώρημα Βolzano θα υπάρχει $\displaystyle{x_o\in (1,2)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_o)=0}$
άρα η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\displaystyle{[1,2]}$ άρα η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

edit: Συμπλήρωσα μετά το ως εξής

Βοlzano

Βοlzano

Re: Βοlzano

Re: Βοlzano

Re: Βοlzano

Re: Βοlzano

Re: Βοlzano

Re: Βοlzano

Μέλη σε σύνδεση