Εξίσωση

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{\sqrt {{e^{{x^2}}}} + \ln x = {e^x} + \ln 2,x > 0}$

Δική μου κατασκευή.

#2

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=e^x-ln\frac{1}{x},x>0}$ .

Η δοσμένη εξίσωση είναι ισοδύναμη της $\displaystyle{f\left (\frac{x^2}{2} \right )=f(x)$ .

Προφανής ρίζα το x=2

, η οποία είναι και μοναδική αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$ .

Νικος Αντωνόπουλος · #3

Μια λίγο πιο αναλυτική λύση πάνω στο ίδιο πνεύμα με το Λευτέρη, που με πρόλαβε.
Αν ονομάσουμε (1) τη δοσμένη εξίσωση τότε: $(1)\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln \frac{2x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}-{{e}^{x}}=\ln x-\ln \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}\Leftrightarrow {{e}^{\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}}}+\ln \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}}={{e}^{x}}+\ln x$ (2)
οπότε αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x)={{e}^{x}}+\ln x,x>0$ η οποία είναι γνησίως μονότονη και κατά συνέπεια ένα προς ένα, λαμβάνουμε $(2)\Leftrightarrow f(\frac{{{\text{x}}^{2}}}{\text{2}})=f(x)\Leftrightarrow x=2$ δεδομένου ότι x>0

hsiodos · #4

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{ e^{\frac{{x^2 }}{2}} - e^x = \ln \left( {\frac{2}{x}} \right)\,\,\,(1)}$ και έχει προφανή λύση την $\displaystyle{x = 2}$

Αν $\displaystyle{x > 2}$ τότε $\displaystyle{ \frac{{x^2 }}{2} > x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,0 < \frac{2}{x} < 1}$ οπότε η (1) είναι αδύνατη αφού το πρώτο μέλος είναι θετικό ενώ το δεύτερο αρνητικό.

Αν $\displaystyle{0 < x < 2}$ τότε $\displaystyle{ \,\frac{{x^2 }}{2} < x\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\,\frac{2}{x} > 1}$ οπότε η (1) είναι και πάλι αδύνατη αφού τώρα το πρώτο μέλος είναι αρνητικό ενώ το δεύτερο θετικό.

Συνεπώς μοναδική λύση της (1) είναι η $\displaystyle{x = 2}$

Γιώργος

#5

Για $\displaystyle{ x > 2 \Rightarrow \frac{{x^2 }}{2} > x \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}} > e^x \wedge \ln x > \ln 2 \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}} + \ln x > e^x + \ln 2 }$

Ενώ για

$\displaystyle{ 0 < x < 2 \Rightarrow \frac{{x^2 }}{2} < x \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}} < e^x \wedge \ln x < \ln 2 \Rightarrow e^{\frac{{x^2 }}{2}} + \ln x < e^x + \ln 2 }$

Παρατηρώ πως για $\displaystyle{ x = 2 }$ ισχύει η ισότητα

Συνεπώς η $\displaystyle{ x = 2 }$ είναι μοναδική λύση για $\displaystyle{ x >0 }$
.

mathxl · #6

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Σκέφτηκα την $\displaystyle{f\left( x \right) = \sqrt {{e^x}} + \ln x,x > 0}$
με $\displaystyle{f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {2x} \right)}$

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση