Μονοτονία συναρτήσεων

#1

Οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι γνησίως μονότονες και $f \circ f=g , g\circ g=f$ .

Να αποδειχθεί ότι f=g

S.E.Louridas · #2

$\begin{array}{*{20}c} {g \circ g = f \Rightarrow f \uparrow \left( {\gamma \nu .} \right) \Rightarrow g \uparrow \left( {\gamma \nu .} \right) \Rightarrow f\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = g\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( x \right)\mathop \Rightarrow \limits^{1 - 1} f\left( {g\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in \mathbb{R},} \\ {g\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( x \right) \Rightarrow g\left( {f\left( {f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right)} \right)} \right) = f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right) = x \Rightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = x,\forall x \in \mathbb{R}.} \\ \end{array}$

$\begin{array}{*{20}c} {\left( {\exists x_0 \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( {x_0 } \right) > g\left( {x_0 } \right)} \right) \Rightarrow \left( {\exists x_0 \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( {f\left( {x_0 } \right)} \right) > f\left( {g\left( {x_0 } \right)} \right)} \right) \Rightarrow \left( {\exists x_0 \in \mathbb{R}} \right)\left( {g\left( {x_0 } \right) > x_0 } \right)} \\ {\kappa \alpha \iota \;g\left( {f\left( {x_0 } \right)} \right) > g\left( {g\left( {x_0 } \right)} \right) \Rightarrow x_0 > f\left( {x_0 } \right) > g\left( {x_0 } \right) > x_0 ,\;\dot \alpha \tau o\pi o.} \\ \end{array}$
Όμοια πάμε σε άτοπο, όταν
$\left( {\exists x_0 \in \mathbb{R}} \right)\left( {f\left( {x_0 } \right) < g\left( {x_0 } \right)} \right).$

S.E.Louridas

pito · #3

Υπέροχη άσκηση

S.E.Louridas · #4

Φίλη pito όταν ο Σπύρος Καπελλίδης προτείνει θέματα, τουλάχιστον έχουν επίπεδο και στόχο.

S.E.Louridas

pito · #5

Συμφωνώ κύριε Λουρίδα( η φίλη pito) .

parmenides51 · #6

Νομίζω πως μπορούμε να βρούμε και την συνάρτηση $\displaystyle{f}$ .

Bill K · #7

Σωστά, αφού έχουμε αποδείξει ότι f(f(x))=f(x)

Έστω ότι υπάρχει $x_0\in \mathbb R$ τέτοιο ώστε $f(x_0)\neq x_0$

Αν $f(x_0)<x_0 \Rightarrow f(f(x_0))<f(x_0) \Rightarrow f(x_0)<f(x_0)$ άτοπο.

Όμοια αν f(x_0)>x_0

καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα $f(x)=x, x\in \mathbb R$

Προκύπτει άμεσα και από την f(f(x))=f(x)

αφού είναι 1-1 ως γνησίως μονότονη ότι f(x)=x

Θα χρειαζόταν το παραπάνω αν είχαμε ότι f(f(x))=x

και

γνησίως αύξουσα όπως μου επισήμανε ευγενικά ο κύριος Στεργίου.

Μονοτονία συναρτήσεων

Μονοτονία συναρτήσεων

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

Re: Μονοτονία συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση