Δύο οριάκια

irakleios · #1

Να υπολογισθούν :

A) $\lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}$

B) $\lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}$

#2

irakleios έγραψε:Να υπολογισθούν :

A) $\lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}$

B) $\lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}$

α)

Για αρκετά μεγάλο $\displaystyle{x}$ (π.χ. $\displaystyle{x>2}$ ) είναι $\displaystyle{e^x>2x,}$ (εύκολο)
άρα είναι τότε, $\displaystyle{e^x-x>x}$ , οπότε

$\displaystyle{0<\frac{1}{e^x-x}<\frac{1}{x}.}$ Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^x-x}=0^+,}$ άρα $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(e^x-x)=+\infty.}$

β) Εύκολα βλέπουμε, ότι για μεγάλο $\displaystyle{x}$ είναι

$\displaystyle{1<\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x}-3}\leq \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}=\frac{1+\frac{3}{\sqrt{x}}}{1-\frac{3}{\sqrt{x}}}}$

και από το κριτήριο παρεμβολής, το ζητούμενο όριο ισούται με $\displaystyle{1.}$

#3

irakleios έγραψε:Να υπολογισθούν :

A) $\lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}$

B) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}$

Αλλιώς:

Α) Με l' Hospital βρίσκουμε ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{\frac {e^x - x}{x} }= \infty$ .
Άρα $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{(e^x - x)}= \lim_{x\rightarrow\\+\infty}{\frac {e^x - x}{x} \cdot x = \infty$ (ως άπειρο επί άπειρο)

Β) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt x - 3}= \lim_{x\rightarrow\\+\infty}\frac{\sqrt{1-\frac {3}{\sqrt x}}}{1 - \frac {3}{\sqrt x}} =\frac{\sqrt{1-0}}{1 -0}=1$

Φιλικά,

Μιχάλης

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

α) $\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } (e^x(1-\frac{x}{e^x}))=+\infty}$ ,γιατί

$\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } e^x=+\infty}$ και

$\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } (\frac{x}{e^x})=\lim_{x\to + \infty } (\frac{1}{e^x})=0},$

$\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } ((1-\frac{x}{e^x}))=1}$

β) $\displaystyle{\lim_{x\to + \infty } (\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x}-3})=\lim_{x\to + \infty } \frac{\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{3}{x}}}{\sqrt{x}(1-\frac{3}{\sqrt{x}})}=1$

Δύο οριάκια

Δύο οριάκια

Re: Δύο οριάκια

Re: Δύο οριάκια

Re: Δύο οριάκια

Μέλη σε σύνδεση