Έχει λύση ή...

kostas136 · #1

Έστω συνάρτηση $\displaystyle f(x)=(x^2-4x+3)g(x)$ όπου $x\in R$ και

συνεχής στο

Αν οι αριθμοί

και

είναι διαδοχικές λύσεις της f(x)=0

τότε να αποδείξετε ότι:

$g(1)g(3)\geq 0$

και να εξετάσετε αν η παρακάτω εξίσωση μπορεί να έχει λύση στο [1,3]

:

#2

Έστω

και αφού η συνάρτηση

είναι συνεχής στο $[1,3] \subser \mathbb{R}$ ,
από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_0 \in (1,3)$ τέτοιο, ώστε g(x_0)=0

.

Αυτό σημαίνει ότι και η εξίσωση f(x)=0

έχει ρίζα το $x_0 \in (1,3)$ , ΑΤΟΠΟ,
αφού διαδοχικές ρίζες της f(x)=0

είναι οι

.

Συνεπώς: $g(1)g(3) \geq 0$ .

Η εξίσωση μπορεί να έχει λύση στο [1,3]. Η ανάλυση το βράδυ αν δεν με προλάβει κάποιος...

pito · #3

Για το (α) έστω ότι $g(1)g(3)\prec 0$ και η

είναι συνεχής στο [1,3]

( αφού είναι συνεχής στο R) , άρα από Bolzano, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{o}\in (1,3)$ τέτοιο ώστε g(x_o)=0

, όμως και από τη δοσμένη σχέση τότε $f(x_{o})=0$ , δηλαδή υπάρχει και άλλη ρίζα της f(x)=0

στο

, άτοπο. Άρα $g(1)g(3)\geq 0$

pito · #4

Με πρόλαβε ο κύριος Λευτέρης

#5

Αφού κανείς δεν προχώρησε ολοκληρώνω τη σκέψη μου.

Αφού η f(x)=0

έχει διαδοχικές ρίζες τους αριθμούς 1,3

και είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ διατηρεί πρόσημο εντός των ριζών της.
Δεδομένου ότι $x^2-4x+3<0,x \in (1,3)$ έχουμε ότι:
* Αν $f(x)>0, x \in (1,3)$ , τότε $g(x)<0, x \in (1,3)$ και
* Αν $f(x)<0, x \in (1,3)$ , τότε $g(x)>0, x \in (1,3)$ ,
δηλαδή και η g(x)

διατηρεί πρόσημο στο (1,3)

.

Έστω $h(x)=g(x)+g(1)+g(3), x \in [1,3]$ .
** Αν g(1)=g(3)=0

, τότε η εξίσωση h(x)=0

έχει ρίζες x=1

ή

.
** Αν $g(1) \neq 0, g(3)=0$ , τότε $g(x) > 0, x \in [1,3)$ ή $g(x) < 0, x \in [1,3)$ ,
άρα τότε η εξίσωση h(x)=0

είναι αδύνατη.
** Αν $g(3) \neq 0, g(1)=0$ , τότε $g(x) > 0, x \in (1,3]$ ή $g(x) < 0, x \in (1,3]$ ,
άρα η εξίσωση h(x)=0

είναι αδύνατη.
** Αν $g(1) \neq 0, g(3) \neq 0$ , τότε $g(x) > 0, x \in [1,3]$ ή $g(x) < 0, x \in [1,3]$ ,
άρα η εξίσωση h(x)=0

είναι αδύνατη.

edit: Διόρθωσα τη συνάρτηση h(x).

pito · #6

Εννοείτε ότι θέτουμε h(x)=g(x)+g(1)+g(3)

, σωστά;

#7

pito έγραψε:Εννοείτε ότι θέτουμε , σωστά;

Προφανώς έχεις δίκιο. Το διορθώνω.

Έχει λύση ή...

Έχει λύση ή...

Re: Έχει λύση ή...

Re: Έχει λύση ή...

Re: Έχει λύση ή...

Re: Έχει λύση ή...

Re: Έχει λύση ή...

Re: Έχει λύση ή...

Μέλη σε σύνδεση