Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

wavelet · #1

Παραθέτω ένα διαγώνισμα που μόλις κατασκεύασα, θα ήθελα τις απόψεις - παρατηρήσεις σας

Θέμα Α
1. Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις ως σωστές ή λάθος

i) Δεν υπάρχει περιοδική συνάρτηση η οποία είναι 1-1
ii) Εάν

γνησίως αύξουσα τότε το ίδιο ισχύει και για την af+bx

με

iii) Οι συναρτήσεις $f(x)=\eta \mu (x)$ και $g(x)=\sigma \upsilon \nu (x)$ έχουν στο διάστημα $A=[\pi/2,\pi]$ την ίδια μέγιστη τιμή
iv) Εάν μια από τις f,g

ισούται με το

τότε ισχύει fo2g=2fog

v) Εάν $f(2x_{1})=f(2x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2},\forall x_{1},x_{2}$ του $D_{f}$ τότε ισχύει η

είναι 1-1

2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία να ισχύει $f(\eta \mu (x))=\sigma \upsilon \nu (x)$

Θέμα Β

1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\ln x=-\dfrac{x^{2}}{e^{2}}+\ln2+5$

έχει μοναδική λύση στο $(0,+\infty)$

2. Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $a\in\mathbb{R}$ και ισχύουν

i) (fof)(x)=25x+12

ii)

Να υπολογίσετε το

και την συνάρτηση

Θέμα Γ

Έστω $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Εάν ισχύουν

i) $g(x)<2|f(x)-f(a)|,\quad\forall x\in(a,b)$

ii) $g(x)\ge 2|f(x_{0})-f(a)|+|f(x)-f(x_{0})|,\quad\forall x\in(a,b),\forall x_{0}\in(a,x)$

Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις $g,\quad g+f,\quad g-f$ είναι γνησίως αύξουσες στο (a,b)

Θέμα Δ

Εάν $f:[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$ και $f(f(x))=xf(x)+e^{x}$

i) Να δείξετε ότι

είναι 1-1

ii) Να δείξετε ότι $f(0)\neq0$ , $f(1)\neq1$ , $f(0)\neq1$

iii) Να δείξετε ότι εάν $\exists x_{0}>0$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=0$ τότε πρέπει $x_{0}=\ln f(0)$

#2

Μία ερώτηση:
Πόσος χρόνος προβλέπεται γι'αυτό το διαγώνισμα;
Μία πρώτη παρατήρηση(για να προλάβω τον κύριο Αντώνη)
Στην 1ii) αν είναι το $\displaystyle{ a > 0 }$ ισχύει ενώ αν $\displaystyle{ a < 0 }$ δεν ισχύει.
Θέλει καλύτερη διατύπωση κατά την αποψή μου.
Με την ώρα βλέπουμε!
Y.Γ:Ομοίως και για την iv)Ποιός μου απαγορεύει και η δεύτερη να είναι η ταυτοτική;
Η εκφώνηση πάντως όχι!

Pla.pa.s · #3

Επιπλέον στο Α2, για να μην υπάρχει η

, θα πρέπει να ξεκαθαρίζεται πού ορίζεται, ειδάλλως (αν π.χ. ορίζεται στο $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ) υπάρχει.
Επίσης, μια άλλη ερώτηση, μέχρι ποιο σημείο είναι η ύλη - δηλαδή τα όρια και η συνέχεια έχουν διδαχτεί;
Για παράδειγμα στο Β1, νομίζω είναι απαραίτητο το Θεώρημα του Bolzano.

Ardid · #4

Εγώ θα ήθελα να ρωτήσω πώς λύνεται το θέμα 3. Απέδειξα ότι η g είναι γνησίως αύξουσα αλλά μετά κόλλησα.
Επίσης, το 1v είναι λάθος, έτσι;

wavelet · #5

@Ardid : το έχω θέσει το θέμα και εδώ και έχει απαντηθεί.
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=52&t=19165

επίσης το 1v είναι σωστό αφού αν $x_{1}=x_{2}$ τότε ισοδύναμα $2x_{1}=2x_{2}$ . Τώρα θέσε $y_{1}=2x_{1}$ και $y_{2}=2x_{2}$

@Pla.pa.s : Ευχαριστώ , θα συμπληρώσω από το /mathbb{R}

στο

για να είναι πιο ξεκάθαρο.
Η ύλη είναι μέχρι και μονοτονία, χωρίς όρια και κατά επέκταση συνέχεια!

@Chris_gatos : Ευχαριστώ, αλλά αφού για a<0

δεν ισχύει τότε είναι λανθασμένη, αφού υπάρχει αντιπαράδειγμα, το ίδιο για το iv) είναι σωστό αν για κάθε συνάρτηση ισχύει, μάλλον πρέπει να το ξεκαθαρίσω στην εκφώνηση

Ο χρόνος που σκέφτομαι είναι 3h.

#6

Για το Γ, δες εδώ.

Το 1v είναι σωστό, όπως και το 1iv.

#7

wavelet έγραψε: @Chris_gatos : Ευχαριστώ, αλλά αφού για a<0 δεν ισχύει τότε είναι λανθασμένη, αφού υπάρχει αντιπαράδειγμα, το ίδιο για το iv) είναι σωστό αν για κάθε συνάρτηση ισχύει, μάλλον πρέπει να το ξεκαθαρίσω στην εκφώνηση
Ο χρόνος που σκέφτομαι είναι 3h.

Εντάξει,αλλά πρέπει να φτιαχτεί λίγο καλύτερη η εκφώνηση στο 1ιι).Είναι μία κουβέντα που την έχουμε κάνει δεκάδες φορές εδώ
αλλά απ'ότι βλέπω δεν οδηγεί και πουθενά!
Εννοώ πως πάντα βλέπω σε τεστ ή διαγωνίσματα αμφιλεγόμενα ερωτήματα σωστού-λάθους.
Καλό βράδυ!

wavelet · #8

chris_gatos έγραψε:
wavelet έγραψε: @Chris_gatos : Ευχαριστώ, αλλά αφού για a<0 δεν ισχύει τότε είναι λανθασμένη, αφού υπάρχει αντιπαράδειγμα, το ίδιο για το iv) είναι σωστό αν για κάθε συνάρτηση ισχύει, μάλλον πρέπει να το ξεκαθαρίσω στην εκφώνηση
Ο χρόνος που σκέφτομαι είναι 3h.
Εντάξει,αλλά πρέπει να φτιαχτεί λίγο καλύτερη η εκφώνηση στο 1ιι).Είναι μία κουβέντα που την έχουμε κάνει δεκάδες φορές εδώ
αλλά απ'ότι βλέπω δεν οδηγεί και πουθενά!
Εννοώ πως πάντα βλέπω σε τεστ ή διαγωνίσματα αμφιλεγόμενα ερωτήματα σωστού-λάθους.
Καλό βράδυ!

Ναι, έτσι είναι θα το διορθώσω! Καλό βράδυ

wavelet · #9

wavelet έγραψε:Παραθέτω ένα διαγώνισμα που μόλις κατασκεύασα, θα ήθελα τις απόψεις - παρατηρήσεις σας

Θέμα Α
1. Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις ως σωστές ή λάθος

i) Δεν υπάρχει περιοδική συνάρτηση η οποία είναι 1-1
ii) Εάν γνησίως αύξουσα τότε το ίδιο ισχύει και για την με
iii) Οι συναρτήσεις $f(x)=\eta \mu (x)$ και $g(x)=\sigma \upsilon \nu (x)$ έχουν στο διάστημα $A=[\pi/2,\pi]$ την ίδια μέγιστη τιμή
iv) Εάν μια από τις ισούται με το τότε ισχύει
v) Εάν $f(2x_{1})=f(2x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2},\forall x_{1},x_{2}$ του $D_{f}$ τότε ισχύει η είναι 1-1

2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση για την οποία να ισχύει $f(\eta \mu (x))=\sigma \upsilon \nu (x)$

Θέμα Β

1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\ln x=-\dfrac{x^{2}}{e^{2}}+\ln2+5$

έχει μοναδική λύση στο $(0,+\infty)$

2. Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $a\in\mathbb{R}$ και ισχύουν

i)

ii)

Να υπολογίσετε το και την συνάρτηση

Θέμα Γ

Έστω $fog:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Εάν ισχύουν

i) $g(x)<2|f(x)-f(a)|,\quad\forall x\in(a,b)$

ii) $g(x)\ge 2|f(x_{0})-f(a)|+|f(x)-f(x_{0})|,\quad\forall x\in(a,b),\forall x_{0}\in(a,x)$

Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις $g,\quad g+f,\quad g-f$ είναι γνησίως αύξουσες στο

Θέμα Δ

Εάν $f:[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$ και $f(f(x))=xf(x)+e^{x}$

i) Να δείξετε ότι είναι 1-1

ii) Να δείξετε ότι $f(0)\neq0$ , $f(1)\neq1$ , $f(0)\neq1$

iii) Να δείξετε ότι εάν $\exists x_{0}>0$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=0$ τότε πρέπει $x_{0}=\ln f(0)$

wavelet · #10

done!

Ardid · #11

Για το 1v σκέφτηκα ότι η συνάρτηση
$f(x)=(x-0,5)^{2} if 0<x<1$
και
$f(x)=x+2 if x\geq 1$
ικανοποιεί τις προυποθέσεις, αλλά δεν είναι 1-1

wavelet · #12

Ardid έγραψε:Για το 1v σκέφτηκα ότι η συνάρτηση
$f(x)=(x-0,5)^{2} if 0<x<1$
και
$f(x)=x+2 if x\geq 1$
ικανοποιεί τις προυποθέσεις, αλλά δεν είναι 1-1

για ποια επιλογή των $x_{1},x_{2}$ ;

Ardid · #13

Για $x_{1}, x_{2} \in$ (0, +άπειρο)

ΥΓ: Πώς μπαίνει το άπειρο στο LATEX;

wavelet · #14

\infty

μα δεν ισχύει για κάθε $x_{1},x_{2}$ το $f(2x_{1})=f(2x_{2})$

Ardid · #15

Ισχύει $f(2x_{1})=f(2x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ (το 2χ ανήκει στον δεύτερο κλάδο της συνάρτησης, ο οποίος είναι 1-1) . Ο πρώτος κλάδος όμως δεν είναι 1-1.

wavelet · #16

σε pdf αν θέλει κάποιος να το τυπώσει, εδώ

Ardid · #17

Το αντεπιχείρημά μου είναι τελικά σωστό;

Μάκης Χατζόπουλος · #18

Ardid έγραψε:Ισχύει $f(2x_{1})=f(2x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ (το 2χ ανήκει στον δεύτερο κλάδο της συνάρτησης, ο οποίος είναι 1-1) . Ο πρώτος κλάδος όμως δεν είναι 1-1.

Αν κατάλαβα καλά, τα 2x_1, 2x_2

που χρησιμοποίησες ανήκουν στον δεύτερο κλάδο της συνάρτησης και όχι σε όλο το πεδίο ορισμού της; Σωστά; Άρα απέδειξες ότι ισχύει η περίπτωση αυτή για την 1-1 συνάρτηση! Ο πάνω κλάδος δεν είναι στο πεδίο ορισμού που πήρες τα 2x_1, 2x_2

, οπότε...

Και κάτι σημαντικό αν $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left( {0, + \infty } \right)}$ δεν έπεται ότι αναγκαστικά $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in \left( {1, + \infty } \right)}$ άρα να είμαστε στον κάτω κλάδο, σωστά;

Πάρε για παράδειγμα: $\displaystyle{{x_1} = \frac{1} {4},\,\,{x_2} = \frac{1} {3}}$ τότε $\displaystyle{2{x_1} = \frac{1} {2},\,\,2{x_2} = \frac{2} {3}}$ $\displaystyle{ \in \left( {0,1} \right)}$

#19

Ardid έγραψε:Για $x_{1}, x_{2} \in$ (0, +άπειρο)

ΥΓ: Πώς μπαίνει το άπειρο στο LATEX;

$+\infty$ +\infty
$-\infty$ -\infty

parmenides51 · #20

Φωτεινή έγραψε:
Ardid έγραψε:Για $x_{1}, x_{2} \in$ (0, +άπειρο)

ΥΓ: Πώς μπαίνει το άπειρο στο LATEX;
$+\infty$ +\infty
$-\infty$ -\infty

Εναλλακτικά πατώντας παράθεση στην δημοσίευση οποιουδήποτε (βρίσκεται πάνω δεξιά) βλέπεις πως το έγραψε αυτός

Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Re: Συναρτήσεις - Διαγώνισμα

Μέλη σε σύνδεση