Συνέχεια 2η

Ιστοσελίδα · #1

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{ (0, + \infty )}$ με

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f(x) = \gamma \in \Re }$ και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \delta \in \Re }$ ,

να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός $\displaystyle{ x_o > 0 }$ τέτοιος ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{ f(x_o ) + e^{x_o + 1} + \ln x_o = 1 }$

mathxl · #2

Ορίζουμε την συνάρτηση
$\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) + {e^{x + 1}} + \ln x - 1,x > 0}$
η οποία είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και επίσης για οποιαδήποτε $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in R}$ έχουμε
$\displaystyle{{x_1} < {x_2} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)} \\ {\ln {x_1} < \ln {x_2}} \\ {{x_1} + 1 < {x_2} + 1} \\ \end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)} \\ {\ln {x_1} - 1 < \ln {x_2} - 1} \\ {{e^{{x_1} + 1}} < {e^{{x_2} + 1}}} \\ \end{array}\mathop \Rightarrow \limits^ + g\left( {{x_1}} \right) < g\left( {{x_2}} \right)}$
άρα η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα.
Είναι
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty }$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = - \infty }$

οπότε για το σύνολο τιμών της $\displaystyle{g}$ έχουμε
$\displaystyle{g\left( {\left( {0, + \infty } \right)} \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right)} \right) = R}$ . Παρατηρούμε ότι το $\displaystyle{0}$ ανήκει στο σύνολο τιμών άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{{x_0} > 0}$ τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle{g\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow f({x_o}) + {e^{{x_o} + 1}} + \ln {x_o} = 1}$ . Επειδή η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα το $\displaystyle{{x_0}}$ είναι μοναδικό.

mathxl · #3

έχει ενδιαφέρον η υπάρξη του παραπάνω $\displaystyle{{x_0}}$ όταν η $\displaystyle{f}$
είναι απλά συνεχής (χωρίς δηλαδή να δίνεται ότι είναι γνησίως αύξουσα)

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

mathxl έγραψε:έχει ενδιαφέρον η υπάρξη του παραπάνω $\displaystyle{{x_0}}$ όταν η $\displaystyle{f}$
είναι απλά συνεχής (χωρίς δηλαδή να δίνεται ότι είναι γνησίως αύξουσα)

Επειδή
$\displaystyle{\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}g\left(x\right)=+\infty}$ , υπάρχει b κοντά στο $+\infty$ , τέτοιο ώστε g(b)>0

και
επειδή
$\displaystyle{\mathop{\lim}\limits_{x\to {0^+}}g\left(x\right)=-\infty}$ ,υπάρχει a>0

και κοντά στο

, τέτοιο ώστε g(a)<0

Άρα απο θεώρημα Bolzano , υπάρχει ένα τουλαχιστον $x_0 \in (a,b)$ , τέτοιο ώστε g(x_0)=0

Συνέχεια 2η

Συνέχεια 2η

Re: Συνέχεια 2η

Re: Συνέχεια 2η

Re: Συνέχεια 2η

Μέλη σε σύνδεση