διαγώνισμα Γ΄Λυκείου

bilstef · #1

Το διαγώνισμα στην Γ΄Λυκείου

M.S.Vovos · #2

ΘΕΜΑ 2

α) Πρέπει ${e^{x}-1}\geq 0\Leftrightarrow e^{x}\geq 1\Leftrightarrow e^{x}\geq e^{0}\Leftrightarrow x\geq 0$ . Άρα $D_{f}=[0,+\infty )$ .

β) Η δοθείσα συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων. Άρα θα ισχύει ότι $f'(x)=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}, x\in (0,+\infty)$ . Επομένως, f'(x)> 0

, αφού $e^{x}\neq 0$ . Άρα,

γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty )$ .

γ) Ισχύει ότι $\left.\begin{matrix} & & f(0)=-1\\ & & \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=...=+\infty \end{matrix}\right\}\Rightarrow$ $f([0,+\infty ))=[f(0), \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=[-1,+\infty )$

δ) Θέτω f(x)=y

. Επομένως, θα ισχύει $\left.\begin{matrix} & & y=\sqrt{e^{x}-1}-1\\ & & x\geq 0 \end{matrix}\right\}\Rightarrow y+1=\sqrt{e^{x}-1}\Leftrightarrow (y+1)^{2}+1=e^{x}$ . Άρα $\Leftrightarrow x=ln((y+1)^{2}+1)$ και συνεπώς θα ισχύει $f(x)=ln(x^{2}+2x+2), \forall x\geq 0$ .

ΘΕΜΑ 3

α) Έστω οποιαδήποτε $x_{1},x_{2}\in D_{f}=\mathbb{R}$ , με $x_{1}< x_{2}$ , τέτοια ώστε να ισχύουν:
$\left.\begin{matrix} & & e^{x_{1}}< e^{x_{2}}\\ & & x_{1}+1< x_{2}+1 \end{matrix}\right\}\mathtop \limits{_{\Longleftrightarrow}^{(+)}}$ $f({x_{1}})< f({x_{2}})$ . Άρα

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Επομένως

γνησίως μονότονη $\Rightarrow$ f(1-1)

$\Rightarrow$

αντιστρέψιμη

β) $e^{x^{2}-x}+x^{2}-2x=e^{x+3}+3\Leftrightarrow e^{x^{2}-x}+(x^{2}-x)=e^{x+3}+(x+3)\Leftrightarrow$ $f(x^{_{2}}-x)=f(x+3)$ . Όμως, η

είναι

στο $\mathbb{R}$ .

Άρα $x^{_{2}}-x=x+3\Leftrightarrow x^{_{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow$ x=-1

ή

διαγώνισμα Γ΄Λυκείου

διαγώνισμα Γ΄Λυκείου

Re: διαγώνισμα Γ΄Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση