Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

#1

Το γενικό μέρος των συναρτήσεων είναι σχετικά ένα μικρό κεφάλαιο για να διεκδικεί ένα ολόκληρο θέμα στις εξετάσεις, αν και εδώ που τα λέμε, οι μιγαδικοί που έχουν σαφώς λιγότερες έννοιες, παίρνουν σχεδόν κάθε χρόνο ένα θέμα (και κάτι από τη θεωρία). Αλλά και έτσι να είναι, το γενικό μέρος χαρίζει στους μαθητές σημαντικά εργαλεία, πολύ χρήσιμα σε όλο το φάσμα της ανάλυσης. Με αφορμή λοιπόν μια άσκηση από εθνική ολυμπιάδα, συνέθεσα το παρακάτω θέμα, που δείχνει να καλύπτει και με το παραπάνω μερικά στάρνταρντ ερωτήματα στην αντίστοιχη ύλη.
Σε απαιτητικούς μαθητές σκέφτομαι να την κάνω κάθε χρόνο, γιατι τρέμω στην ιδέα ότι θα τεθεί σοβαρό ερώτημα στις εξετάσεις και θα χαθεί από έλλειψη σωστής προετοιμασίας!
Να προσθέσω ότι δεν αποκλείεται να την έχω ξαναβάλει στο παρελθόν, μια και μερικές φορές βρίσκω την ίδια άσκηση σε διαφορετικές πηγές και την προσαρμόζω στα δικά μας μέτρα, χωρίς να θυμάμαι αν το έχω ξανακάνει!
Από ένα σημείο και μετά όλες οι ασκήσεις μοιάζουν - είναι και αυτό που με παιδεύει!!!

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται συνάρτηση

με πεδίο ορισμού το σύνολο $\mathbb R$ και την ιδιότητα:

$f(f^2(x)+f(y))=xf(x) + y , \forall x,y \in \mathbb R$ .

Να αποδείξετε ότι:

α) Η συνάρτηση

είναι

.

β) Η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb R$

γ) f(0)=0

δ) Η

αντιστρέφεται και $f^{-1}(x)=f(x),\forall x \in \mathbb R$ .

ε) $f^2(x)=x^2 ,\forall x \in \mathbb R$

στ) $f(x)=x , \forall x \in \mathbb R$ ή $f(x)=-x , \forall x \in \mathbb R$

#2

Μία γρήγορη απάντηση για το στ)
Αφού f^2(x)=x^2

για κάθε $x\in R$

Χρήστος

#3

...Καλησπέρα

με μία προσπάθεια στην εμπνευση του Μπάμπη στο (α)...

α) Ισχύει $f({{f}^{2}}(x)+f(y))=xf(x)+y,\,\,\,\,\,x,y\in R$ (1) και για x=y

ότι $f({{f}^{2}}(x)+f(x))=xf(x)+x,\,\,\,\,\,x\in R$ (2)

οπότε για ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in R$ όταν ισχύει $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ τότε και ${{f}^{2}}({{x}_{1}})={{f}^{2}}({{x}_{2}})$ άρα και ${{f}^{2}}({{x}_{1}})+f({{x}_{1}})={{f}^{2}}({{x}_{2}})+f({{x}_{2}})$ οπότε

$f({{f}^{2}}({{x}_{1}})+f({{x}_{1}}))=f({{f}^{2}}({{x}_{2}})+f({{x}_{2}}))$ έτσι λόγω (2) θα ισχύει

${{x}_{1}}f({{x}_{1}})+{{x}_{1}}={{x}_{2}}f({{x}_{2}})+{{x}_{2}}$ (3)

Επίσης λόγω (1) θα ισχύει $f({{f}^{2}}({{x}_{1}})+f({{x}_{2}}))={{x}_{1}}f({{x}_{1}})+{{x}_{2}}$ και $f({{f}^{2}}({{x}_{2}})+f({{x}_{1}}))={{x}_{2}}f({{x}_{2}})+{{x}_{1}}$

οπότε λόγω του $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ θα ισχύει και ${{x}_{1}}f({{x}_{1}})+{{x}_{2}}={{x}_{2}}f({{x}_{2}})+{{x}_{1}}$ (4)

Από (3)-(4) προκύπτει ότι ${{x}_{1}}-{{x}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$ άρα η

είναι

...συνεχίζεται η προσπάθεια για τα υπόλοιπα...

γ) Σύμφωνα με το (β) θα υπάρχει ${{x}_{0}}\in R$ και μοναδικό ώστε $f({{x}_{0}})=-1$ οπότε από (2) θα ισχύει

$f({{f}^{2}}({{x}_{0}})+f({{x}_{0}}))={{x}_{0}}f({{x}_{0}})+{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(1-1)=-{{x}_{0}}+{{x}_{0}}\Leftrightarrow f(0)=0$

...και συνεχιζουμε

δ) Για x=0

από (1) ισχύει ότι $f({{f}^{2}}(0)+f(y))=0f(0)+y\Leftrightarrow f(f(y))=y,\,\,\,y\in R$ ή

$f(f(x))=x,\,\,x\in R$ οπότε για

το ${{f}^{-1}}(x),\,\,\,x\in R$ λόγω του (β) θα ισχύει

$f(f(({{f}^{-1}}(x)))={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(x)={{f}^{-1}}(x),\,\,x\in R$

...και συνεχίζουμε..

ε) Στην $f({{f}^{2}}(x)+f(y))=xf(x)+y,\,\,\,\,\,x,y\in R$ για

το

και

θα ισχύει

$f({{f}^{2}}(f(x)))=f(x)f(f(x))$ και λόγω του $f(f(x))=x,\,\,x\in R$ θα ισχύει

$f({{x}^{2}})=xf(x)$ και επειδή για y=0

ισχύει $f({{f}^{2}}(x))=xf(x)$ θα έχουμε τελικά ότι

$f({{f}^{2}}(x))=f({{x}^{2}})\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)={{x}^{2}}$ λόγω του (α)

......

Βασίλης

air · #4

Για το β)

Έστω $y\in\mathbb R$ τυχαίος, τότε για $x:=f^2(0)+f(y) \in \mathbb R$ ισχύει ότι f(x)=y

.

Και αφού $y\in\mathbb R$ τυχαίος έπεται ότι $f(\mathbb R)=\mathbb R$ .

Ιστοσελίδα · #5

στ) $(\forall x\in\mathbb{R}) [f^2(x)=x^2] \iff$

$(\forall x\in\mathbb{R}) [f(x)=x$ ή f(x)=-x]

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν $a , b\in\mathbb{R^*}$ με f(a)=a

και

Από τη δοθείσα σχέση, για x=a , y=b

έχουμε:

$f(f^2(a)+f(b)) = af(a) + b \Rightarrow f(a^2-b)=a^2+b \Rightarrow$

a^2-b = a^2+b

ή $-a^2+b = a^2+b \Rightarrow$

b = 0

ή

άτοπο.

Επομένως, $f(x)=x , \forall x\in\mathbb{R}$ ή $f(x)=-x , \forall x\in\mathbb{R} .$

#6

Στράτη

εγώ βιάστηκα

ως συνήθως και δεν έλεγξα το πρόσημο της $\displaystyle{f}$ .

Χρήστος

Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Re: Εύρεση συνάρτησης στο Γενικό μέρος !

Μέλη σε σύνδεση