ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από perpant » Δευ Ιαν 09, 2012 11:13 pm

Ας συνεχίσουμε τη συλλογή θεμάτων με το 1ο κεφάλαιο της Ανάλυσης. Συνεχίζουμε από εκεί που μείναμε με την άσκηση 41. Με τους ίδιους όρους των μιγαδικών. Όχι πάνω από 2-3 άλυτες, όχι θέματα εξετάσεων, ΟΕΦΕ κτλ. Δίνω την πρώτη ασκήση στην επόμενη δημοσίευση για να διευκολύνω το έργο όποιου μαζέψει τις ασκήσεις σε ένα αρχείο.


Παντούλας Περικλής
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από perpant » Δευ Ιαν 09, 2012 11:15 pm

ΑΣΚΗΣΗ 41η

α) Αν η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο [0,1] να δείξετε ότι υπάρχει \displaystyle{x_0  \in (0,1)} τέτοιο ώστε \displaystyle{f(x_0 ) = \frac{1}{{1 - x_0 }} - \frac{1}{{x_0 }}}.

β) Έστω \displaystyle{f} μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει \displaystyle{1 + x \le f(x) \le e^x ,\forall x \in R}. Να αποδείξετε ότι :

i) Η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο\displaystyle{x_0  = 0}.

ii) Αν η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \displaystyle{x_0  \in ( - 1,1)}, ώστε \displaystyle{\frac{{f(x_0 )}}{{2004}} = x_0 }.

iii) Να υπολογίσετε το \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x)}.


Παντούλας Περικλής
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από xr.tsif » Δευ Ιαν 09, 2012 11:49 pm

ΑΣΚΗΣΗ 42
Δίνεται η συνάρτηση fμε τύπο:f(x)=-2x^5-\left|z \right|x^3+2\left|z \right|^5
με x\in R και z\in C^*.

α) Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)= 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0,\left|z \right|).

δ) Αν \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-f(x)+2\left|z \right|^5}{\eta \mu ^3x}=1 , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z.

Απο το www.study4exams.gr

Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από dennys » Τρί Ιαν 10, 2012 12:12 am

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 41
1)θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=f(x)x(1-x)-x+(1-x) για την οποία ισχύει : g(x) συνεχής στο[0,1]
και g(0)=+1>0, g(1)=-1<0 αρα g(0)g(1)<0 ετσι υπάρχει xo \in (0,1) : g(xo)=0 \rightarrow f(xo)xo(1-xo)-xo+(1-xo)=0
διαιρώντας με xo(1-xo)\neq 0 f(xo)=\frac{1}{1-xo}-\frac{1}{xo} δηλ η δοσμένη εξίσωση.
2)Για x=0 \rightarrow 1+0\le f(0)  \le e^0  \Rightarrow f(0)=0 και με το κριτήριο παρεμβολής lim_x\to 0 {f(x)}=0 δηλ η
συνάρτηση είναι συνεχής στο μηδέν.
3)
θεωρώ συνάρτηση h(x)=f(x)-2004x και στο διάστημα [-1,1] είναι συνεχής και h(-1)=f(-1)+2004>0 αφού απο την
δοσμένη ανισότητα για x=-1  \rightarrow 0 \le f(-1) \le \frac{1}{e} και
h(1)=f(1)-2004<0 αφού 2\le f(1)  \le  e< 2004 Αρα απο Θ. ΒΟΛΖΑΝΟ........
4) Απο την 1+x  \le f(x)  \le e^x αρ α έχουμε 0  \le  \frac{1}{f(x)}  \le \frac {1}{1+x} με κριτήριο παρεμβολής lim_x \to \infty{\frac{1}{1+x}=0
lim_x\to \infty {\frac{1}{f(x)}}=0 και αρα lim_x\to \infty {f(x)}=+\infty
τελευταία επεξεργασία από dennys σε Τρί Ιαν 10, 2012 12:48 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από pito » Τρί Ιαν 10, 2012 12:31 am

ΑΣΚΗΣΗ 42η -ΛΥΣΗ

α)Είναι A_{f}=R .
Έστω x_{1},x_{2}\in R με x_{1}<x_{2}\Rightarrow x_{1}^{5}<x_{2}^{5}\Rightarrow -2x_{1}^{5}>-2x_{2}^{5}  (1) και x_{1}<x_{2}\Rightarrow x_{1}^{3}<x_{2}^{3}\Rightarrow -|z|x_{1}^{3}>-|z|x_{2}^{3}  (2).
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1), (2) και με πρόσθεση του 2|z|^{5} και στα 2 μέλη προκύπτει
-2x_{1}^{5}-|z|x_{1}^{3}+2|z|^{5}>-2x_{2}^{5}-|z|x_{2}^{3}+2|z|^{5}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2}), άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

β) Είναι lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=lim_{x\rightarrow -\infty}(-2x^{5})=+\infty και
lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=lim_{x\rightarrow + \infty}(-2x^{5})=-\infty, συνεπώς f(R)=R.

γ) Η f είναι συνεχής στο [0,|z|] ως πολυωνυμική με
f(0)=2|z|^{5}>0, f(|z|)=-|z|^{4}<0 (καθώς z\neq 0) , άρα f(0)f(|z|)<0 και από θ. Bolzano προκύπτει το ζητούμενο.

δ)Είναι lim_{x\rightarrow 0}\frac{2|z|^{5}-f(x)}{\eta \mu ^{3}x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^{5}+|z|x^{3}}{\eta \mu ^{3}x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^{2}}{(\frac{\eta \mu \chi }{x})^{3}}+\frac{|z|}{(\frac{\eta \mu x}{x})^{3}}=|z|
άρα πρέπει |z|=1 και η εικόνα του z κινείται στον μοναδιαίο κύκλο.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από pito » Τρί Ιαν 10, 2012 12:43 am

ΑΣΚΗΣΗ 43η

Δίνεται η συνεχής στο R συνάρτηση f και η συνάρτηση g:R\rightarrow R με την ιδιότητα g(x)f^{2}(x)=e^{x}g(x)+1 για κάθε x\in R και |f(0)|<1.

Α) Να βρείτε το lim_{x\rightarrow -\infty}f(x).

β) Να βρείτε το lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)

γ) Να δείξετε ότι g(0)\leq- 1

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση (x-1)(e^{x}+x)[g(x)+e^{x}]=x[f(x-1)+x] έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [0,1) και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από perpant » Τρί Ιαν 10, 2012 12:55 am

ΑΣΚΗΣΗ 44η
Μια συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:\Re  \to \Re } με \displaystyle{f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}} έχει την ιδιότητα:\displaystyle{f\left( {xy} \right) = f\left( x \right)f\left( {\frac{3}{y}} \right) + f\left( y \right)f\left( {\frac{3}{x}} \right)}για κάθε \displaystyle{x,y \in \Re ^* }

Α. Να αποδειχθεί ότι:

a) \displaystyle{f\left( 3 \right) = \frac{1}{2}}

b) \displaystyle{f\left( {\frac{3}{x}} \right) = f\left( x \right),\,\,\,x \in \Re }

c) \displaystyle{f\left( {xy} \right) = 2f\left( x \right)f\left( y \right)} και \displaystyle{
f^2 \left( x \right) = \frac{1}{4}} για κάθε \displaystyle{x \in \Re }

Β. Να βρεθεί ο τύπος της \displaystyle{f}


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από parmenides51 » Τρί Ιαν 10, 2012 12:57 am

Φίλη pito

Σχετικά με την γραφή των ορίων στο \LaTeX

Για να πηγαίνει το ''x τείνει κάπου'' κάτω από το όριο, πρέπει

ή να χρησιμοποιήσεις την εντολή \displaystyle{ } γυρω από το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) πριν πατήσεις το κουμπί tex
ή πατώντας δυο δολάρια πριν και μετά το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) .

Δηλαδή πατώντας το ένα δολάριο πριν και μετά το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) έχουμε το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)

ενώ πατώντας δυο δολάρια πριν και μετά το \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) έχουμε το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)}.

Φιλικά


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από KAKABASBASILEIOS » Τρί Ιαν 10, 2012 2:09 am

...ας λύσουμε καμμία άσκηση...

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 43

Α) Είναι από την δοθείσα σχέση g(x)({{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}})=1 απ όπου {{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}\ne 0 και επειδή είναι συνεχής στο

R ως διαφορά συνεχών θα διατηρεί σταθερό πρόσημο έτσι {{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}>0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)>{{e}^{x}},\,\,\,x\in R άτοπο

αφού από υπόθεση \left| f(0) \right|<1άρα αναγκαία {{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}<0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)<{{e}^{x}},\,\,\,x\in R οπότε θα

ισχύει και \left| f(x) \right|<\sqrt{{{e}^{x}}}\Leftrightarrow -\sqrt{{{e}^{x}}}<f(x)<\sqrt{{{e}^{x}}} και επειδή \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x}}=0 από κριτήριο παρεμβολής \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0

Β) Επειδή τώρα ισχύει από g(x)({{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}})=1 ότι g(x)=\frac{1}{{{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}}(1) και \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}})=0 με {{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}<0

θα είναι \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{f}^{2}}(x)-{{e}^{x}}}=-\infty

Γ) Αρκεί από (1) να δείξουμε ότι \frac{1}{{{f}^{2}}(0)-1}\le -1 και επειδή ισχύει \left| f(0) \right|<1 αρκεί 1\ge -{{f}^{2}}(0)+1\Leftrightarrow {{f}^{2}}(0)\ge 0 που ισχύει

Δ) Αν h(x)=(x-1)({{e}^{x}}+x)(g(x)+{{e}^{x}})-x(f(x-1)+x) επειδή από (1) η g είναι πράξεις μεταξύ συνεχών είναι συνεχής στο R

οπότε και η h ως πράξεις μεταξύ συνεχών με h(1)=-(f(0)+1)<0 λόγω του \left| f(0) \right|<1h(0)=-(g(0)+1)\ge 0 λόγω του (Γ)

Έτσι αν g(0)=-1 η h(x)=0 έχει ρίζα το 0 και αν g(0)\ne -1 τότε h(0)h(1)<0 και από θεώρημα BOLZANO η

h(x)=0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,\,1) οπότε σε κάθε περίπτωση η h(x)=0 έχει ρίζα στο [0,\,1)

...στο μη αρνητική;;;;...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από KAKABASBASILEIOS » Τρί Ιαν 10, 2012 3:29 am

...όσο αντέχουμε...

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 44

Α ) α) Για x=y=1 ισχύει f(1)=2f(1)f(3) και επειδή f(1)=\frac{1}{2} προκύπτει ότι f(3)=\frac{1}{2}

β) Για y=1 προκύπτει ότι f(x)=f(x)f(3)+f(1)f(\frac{3}{x})\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(\frac{3}{x})\Leftrightarrow

\Leftrightarrow f(\frac{3}{x})=f(x),\,\,\,x\in {{R}^{*}} (…δεν μπορεί να ισχύει για x=0)

γ) Λόγω (β) θα ισχύει f(xy)=f(x)f(y)+f(y)f(x)\Leftrightarrow f(xy)=2f(x)f(y)(1) και για y=\frac{3}{x} από (1) έχουμε

f(3)=2f(x)f(\frac{3}{x}) και λόγω (α) και (β) \frac{1}{2}=2{{f}^{2}}(x)\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{4},\,\,x\ne 0

Β) Από {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left| f(x) \right|=\frac{1}{2} και επίσης ότι f(x)\ne 0,\,\,\,x\in {{R}^{*}} και ως συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο στα

(-\infty ,\,\,0),\,\,(0,\,\,+\infty )και αφού f(3)=\frac{1}{2}>0 θα είναι f(x)=\frac{1}{2},\,\,\,x\in (0,\,\,+\infty )και

f(x)=\frac{1}{2},\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0) ή f(x)=-\frac{1}{2},\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)και επειδή είναι συνεχής στο {{x}_{0}}=0

θα είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\frac{1}{2}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) άρα τελικά f(x)=\frac{1}{2},\,\,\,x\in R


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Ιαν 10, 2012 9:48 am

ΑΣΚΗΣΗ 45η

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση \displaystyle{f}:\displaystyle{R \to R} και η συνάρτηση \displaystyle{g}:\displaystyle{R \to R} ώστε για κάθε \displaystyle{x \in R} να ισχύει η σχέση \displaystyle{f(f(x)) = 2g(x) - x}

A.1.Να δείξετε ότι η \displaystyle{g} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{R}

Α.2. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της \displaystyle{h(x) = f(x) - g(x)}

Α.3. Έστω \displaystyle{x_0  \in R} με \displaystyle{f(x_0 ) = x_0 }

i. Να δείξετε ότι η \displaystyle{C_f } και η \displaystyle{C_g } τέμνονται σε ένα μόνο σημείο.

ii. Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{f(f(x + x_0  - 2)) + x + x_0  = 2f(x + x_0  - 2) + 2}

iii. Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{f(f(\ln x + x_0  + 1)) + \ln x + 1 < x_0 }

Χ.Πατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος)
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Τρί Ιαν 10, 2012 11:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από pito » Τρί Ιαν 10, 2012 10:35 am

ΑΣΚΗΣΗ 45η

α) Από τη δοσμένη σχέση είναι g(x)=\frac{f(f(x))+x}{2}.
Έστω x_{1},x_{2}\in R  \mu \varepsilon  x_{1}<x_{2}  (1) τότε και f(x_{1})>f(x_{2})\Rightarrow f(f(x_{1})<f(f(x_{2}))  (2)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1), (2) και διαιρώντας με το 2 προκύπτει g(x_{1})<g(x_{2}), άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R.

β) Έστω x_{1},x_{2}\in R  \mu \varepsilon x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2}) (1) και x_{1}<x_{2}\Rightarrow g(x_{1})<g(x_{1})\Rightarrow -g(x_{1})>-g(x_{2})  (2)
, από πρόσθεση των (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει h(x_{1})>h(x_{2}) άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

γ) Αφού f(x_{o})=x_{o}\Rightarrow f(f(x_{o})=f(x_{o})=2g(x_{o})-x_{o}
\Rightarrow x_{o}=2g(x_{o})-x_{0}\Rightarrow g(x_{o})=x_{o}=f(x_{o}).
Συνεπώς οι C_{f}, C_{g} τέμνονται στο σημείο με τετμημένη x_{o}. Το x_{o} είναι η μοναδική ρίζα της f(x)=g(x)
\Rightarrow f(x)-g(x)=0 καθώς η h(x)=f(x)-g(x) είναι γνησίως φθίνουσα.

δ) f(f(x+x_{o}-2))+x+x_{o}=2f(x+x_{o}-2)+2\Rightarrow 2g(x+x_{o}-2)-x-x_{o}+2+x+x_{o}=2f(x+x_{o}-2)+2
\Rightarrow g(x+x_{o}-2)=f(x+x_{o}-2)  (1) και από το (γ) ερώτημα και την (1) πρέπει x+x_{o}-2=x_{o}\Rightarrow x=2

ε) f(f(lnx+x_{o}+1))+lnx+1<x_{o}\Rightarrow 2g(lnx+x_{o}+1)-lnx-x_{o}-1+lnx+1<x_{o}
\Rightarrow 2g(lnx+x_{o}+1)<2g(x_{o})\Rightarrow lnx+x_{o}+1<x_{o}
\Rightarrow lnx<-1\Rightarrow0< x<\frac{1}{e}

( Ευχαριστώ τον Δημήτρη Κατσίποδα για την επισήμανσή του στο (ε))
τελευταία επεξεργασία από pito σε Τρί Ιαν 10, 2012 11:03 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από pito » Τρί Ιαν 10, 2012 10:41 am

ΑΣΚΗΣΗ 46η

Έστω η συνάρτηση f:(0,+\infty)\rightarrow R για την οποία ισχύει f(x)-f(y)=f(\frac{x}{y}) για κάθε x,y>0 και η εξίσωση f(x)=0 που έχει μοναδική ρίζα.

α) Να βρείτε το f(1)

β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x^{2}-2)+f(x)=f(5x-6)

δ) Αν f(x)<0 για κάθε x>1, να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+\infty).


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3719
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από cretanman » Τρί Ιαν 10, 2012 11:05 am

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 46η

Έστω η συνάρτηση f:(0,+\infty)\rightarrow R για την οποία ισχύει f(x)-f(y)=f(\frac{x}{y}) για κάθε x,y>0 και η εξίσωση f(x)=0 που έχει μοναδική ρίζα.

α) Να βρείτε το f(1)

β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x^{2}-2)+f(x)=f(5x-6)

δ) Αν f(x)<0 για κάθε x>1, να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+\infty).


α) Για x=y παίρνουμε f(1)=0 οπότε αφού η εξίσωση f(x)=0 έχει λύση το 1 άρα αυτή είναι και η μοναδική λύση της.

β) Έστω x_1,x_2>0 με f(x_1)=f(x_2). Θέτουμε στην αρχική όπου x=x_1 και y=x_2 και παίρνουμε f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)=f(x_1)-f(x_2) άρα f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)=0 και επειδή το 1 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f(x)=0 άρα πρέπει \dfrac{x_1}{x_2}=1 απ' όπου x_1=x_2. Άρα η f είναι 1-1 και αντιστρέφεται.

γ) Προφανώς για να ορίζoνται τα f(5x-6) και f(x^2-2) πρέπει 5x-6>0 και x^2-2>0 δηλαδή τελικά x>\sqrt{2}.
Με αυτή την προϋπόθεση η εξίσωση γράφεται f(x^2-2)=f(5x-6)-f(x) και αφού x>0, η τελευταία σχέση με τη βοήθεια της αρχικής γράφεται: f(x^2-2)=f\left(\dfrac{5x-6}{x}\right) και επειδή η f είναι 1-1 γράφεται ισοδύναμα x(x^2-2)=5x-6 δηλαδή λύνοντας την τριτοβάθμια παίρνουμε x=1 ή x=2 ή x=-3 απ' όπου κρατάμε μόνο την x=2.

δ) Έστω x_1,x_2>0 με 0<x_1<x_2. Τότε για x=x_2 και y=x_1 στην αρχική παίρνουμε f(x_2)-f(x_1)=f\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)<0 διότι \dfrac{x_2}{x_1}>1. Άρα f(x_1)>f(x_2) συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Ιαν 10, 2012 1:01 pm

ΑΣΚΗΣΗ 47η

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = 2 - \ln (\sqrt {x - 2}  + 1)}

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β.Να δείξετε οτι η \displaystyle{f} είναι γνησίως φθίνουσα

γ.Να δείξετε οτι η \displaystyle{f} αντιστρέφεται και να βρείτε την \displaystyle{f^{ - 1} }

δ.Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{f^{ - 1} (x) = 2}

ε.Να βρείτε τα κοινά σημεία της \displaystyle{C_f } και της \displaystyle{y = x}

Α.Μπάρλας (εκδόσεις ελληνοεκδοτική)


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1672
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από pito » Τρί Ιαν 10, 2012 1:39 pm

ΑΣΚΗΣΗ 47η

α) Πρέπει λόγω της υπορίζου να ισχύει x-2\geq 0\Rightarrow x\geq 2 (1)
και για να ορίζεται ο λογάριθμος πρέπει \sqrt{x-2}+1>0, που ισχύει άρα τελικά
A_{f}=[2,+\infty)

β) Εστω x_{1},x_{2}\in [2,+\infty) με x_{1}<x_{2}\Rightarrow x_{1}-2<x_{2}-2
\sqrt{x_{1}-2}<\sqrt{x_{2}-2}\Rightarrow \sqrt{x_{1}-2}+1<\sqrt{x_{2}-2}+1 και αφού η lnx
είναι γνησίως αύξουσα θα είναι ln(\sqrt{x_{1}-2}+1)<ln(\sqrt{x_{2}-2}+1)\Rightarrow2 -ln(\sqrt{x_{1}-2}+1)>2-ln(\sqrt{x_{2}-2}+1)

άρα f(x_{1})>f(x_{2}) και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [2,+\infty)

γ) Η f είναι 1-1 άρα και αντιστρέψιμη αφού είναι γνησίως φθίνουσα.

Έστω f(x)=y\Rightarrow x=f^{-1}(y), τότε
y=2-ln(\sqrt{x-2}+1)\Rightarrow ln(\sqrt{x-2}+1)=2-y (2)

Όμως είναι \sqrt{x-2}+1\geq 1\Rightarrow ln(\sqrt{x-2}+1)\geq 0, άρα λόγω της (2) πρέπει
2-y\geq 0\Rightarrow y\leq 2 (3)
Ακόμη (2)\Rightarrow \sqrt{x-2}+1=e^{2-y}\Rightarrow x-2=(e^{2-y}-1)^{2}\Rightarrow x=2+(e^{2-y}-1)^{2} (4)
Και από το A_{f}=[2,+\infty) πρέπει x\geq 2, που ισχύει λόγω της (4).

Τελικά f^{-1}(x)=(e^{2-x}-1)^{2}+2, x\leq 2

δ) Είναι f^{-1}(x)=2\Rightarrow f(f^{-1}(x))=f(2)\Rightarrow x=f(2)\Rightarrowx=2

ε) Είναι f(2)=2 άρα το (2,2) είναι κοινό σημείο της C_{f} με την y=x
και αυτό είναι και μοναδικό καθώς η h(x)=f(x)-x είναι γνησίως φθίνουσα.
τελευταία επεξεργασία από pito σε Τρί Ιαν 10, 2012 9:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Ιαν 10, 2012 3:30 pm

ΑΣΚΗΣΗ 48

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb R \to \mathbb R} με την ιδιότητα: \displaystyle{f(x+f(x+y)) = f(2x) +y για κάθε \displaystyle{x,y \in \mathbb R}.Να αποδείξετε ότι :

α) f(0) = 0

β) (f\circ f )(x)=x , \forall x \in \mathbb R

γ) Η f είναι 1-1

δ) Η f έχει σύνολο τιμών το \mathbb R

ε) f(x) = x ,\forall x \in \mathbb R

Μπάμπης





Την παρακάτω την αποσύρω, διότι τώρα που την ξαναέκανα είδα ότι ξεφεύγει του επιπέδου των εξετάσεων.

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb R \to \mathbb R} με την ιδιότητα: \displaystyle{f(xf(y)) + \,f(yf(x)) = \,2xy} για κάθε \displaystyle{x,y \in \mathbb R}.

Α.α) Να βρείτε το f(0) και να αποδείξετε ότι f(1) = 1 ή f(1) = - 1

β) Αν η f είναι 1-1 , να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(\frac{1}{x})\, = \,\frac{1}{{f(x)}}} , για κάθε \displaystyle{x\, \ne \,0

Β. Αν f(1) = 1 , να αποδείξετε ότι :

α) \displaystyle{f(x)\, + \,f(f(x))\, = \,2x} για κάθε \displaystyle{x\, \in \,\mathbb R}.

β) η f είναι 1-1

γ) f(x) = x , για κάθε \displaystyle{x\, \in \,\mathbb R}.

Γ. Αν f(1) = - 1 , να αποδείξετε ότι :

α) f(-1) = 1

β) \displaystyle{f(x)\, + \,f( - \,f(x))\, = \, - \,2x} για κάθε \displaystyle{x\, \in \,\mathbb R}.

γ) η f είναι 1- 1

δ) f(x) = -  x, για κάθε \displaystyle{x\, \in \,\mathbb R}.

Μπάμπης
(...λίγο δύσκολη, αλλά ποτέ δεν ξέρεις !)


dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από dennys » Τρί Ιαν 10, 2012 4:28 pm

ΑΣΚΗΣΗ 49

Εστω η συνάρτηση f(x)=ln(1-e^x)-ln(1+e^x)
1)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Df
2)Να Βρείτε το πρόσημο της f(x)
3) Να βρείτε την μονοτονία της f.
4)Να βρείτε την f^{-1}
5)Βρείτε το m<0 : f(m)=m
6)Αν g(x)=f(x)-x ,  x<0 , να βρείτε την μονοτονία της g(x)
7)Να λύσετε την ανίσωση f(x)-f(-1)<x+1
8)Αν h(x)=-ln(-x), να αποδείξετε ότι υπάρχει c : f(c)=h(c)
9)Να βρείτε το οριο : \displaystyle {A= \lim_ {x\to-{\infty}}{\cfrac {f(-1)x^3+x^2+6}{f(-3)x^2-x-2}} } και το όριο \displaystyle B=\lim_{x\to -\infty}(e^{f(x)}-e^{f^{-1}(x)})

ΣΧΟΛΙΟ (από γεν.συντον)
Επειδή έγινε μορφοποίηση , παρακαλούμε το συντάκτη να εξετάσει αν το τελεύταίο όριο είναι εντάξει
Ολα είναι εντάξει .Ευχαριστώ τούς συντονιστές.
τελευταία επεξεργασία από dennys σε Τρί Ιαν 10, 2012 8:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Ιαν 10, 2012 7:43 pm

ΑΣΚΗΣΗ 50


Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x)=x+\ln x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής.

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ακριβώς ρίζα.

δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης της f.

ε) Να λύσετε την εξίσωση f^{-1} (x) = x

στ) Να λύσετε την ανίσωση f^{-1} (x) > x-1

Μπάμπης
(Δεν θα προτείνω άλλη μέχρι να συγκεντρώσουμε 40 θέματα , εκτός και αν παραστεί ανάγκη.)


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από parmenides51 » Τρί Ιαν 10, 2012 8:34 pm

Ας θεωρηθεί η άσκηση 47 του Μπάμπη ως άσκηση 48, εκ παραδρομής προφανώς γράφτηκε σαν 47.

edit: Διορθώθηκε η αρίθμηση.
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Τρί Ιαν 10, 2012 9:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης