Εύρεση ορίου

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{\displaystyle f:\Re \to \Re }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{\displaystyle f^3 (x) + f(x) = x^3 }$ για κάθε $\displaystyle{\displaystyle x \in \Re }$ .
Να βρείτε το $\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} }$

APOSTOLAKIS · #2

Για κάθε x>0 έχουμε:
$f(x)\cdot [f^{2}(x)+1]=x^{3}$
Άρα f(x) > 0 για κάθε x > 0
Επίσης για κάθε x > 0 ισχύει:
$x^{3}=f^{3}(x)+f(x)\geq f^{3}(x)$
άρα $f(x)\leq x$
Διαιρούμε με $x^{3}$ , x>0, Οπότε
$0\leq \frac{f(x)}{x^{3}}\leq \frac{1}{x^{2}}$
Από κριτήριο παρεμβολής $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x^{3}}=0$
Για κάθε x > 0 από την υπόθεση αφού διαιρέσουμε με $x^{3}$ έχουμε:
$\left[\frac{f(x)}{x} \right]^{3}+\frac{f(x)}{x^{3}}=1$ ή
$\left[\frac{f(x)}{x} \right]^{3}=1-\frac{f(x)}{x^{3}}$
τελικά $\lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x}=1$

#3

Kαλησπέρα! Το θέμα μου μυρίζει έντονα...έναν Πειραιώτη Λυκειάρχη ...( Ονόματα δε λέμε, οικογένειες , δε θίγουμε!!)

ΛΥΣΗ

Αφού ενδιαφερόμαστε για όριο στο +00, μπορούμε να θεωρήσουμε , άφοβα πως χ>0.
Είναι:
$\displaystyle{\displaystyle f^3 (x) + f(x) = x^3 \Rightarrow f(x)(f^2 \left( x \right) + 1) = x^3 \Rightarrow f(x) = \frac{{x^3 }} {{f^2 (x) + 1}} > 0,\forall x > 0 }$ .
Αρα :
$\displaystyle{\displaystyle f^3 (x) = x^3 - f(x) < x^3 .\left( {f(x) > 0} \right) }$ .
Κατ'όπιν τούτου , έχουμε, εύκολα: $\displaystyle{\displaystyle f^3 (x) < x^3 \Rightarrow f(x) < x \Rightarrow \frac{{f(x)}} {{x^3 }} < \frac{1} {{x^2 }}\left( {x > 0} \right) }$ .
Αρα $\displaystyle{\displaystyle 0 < \frac{{f(x)}} {{x^3 }} < \frac{1} {{x^2 }} \wedge \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1} {{x^2 }} = 0 }$ , οπότε απο το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει:

$\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}} {{x^3 }} = 0 }$ .
Γυρνώντας πάλι στην αρχική έχουμε τώρα, διαιρώντας με $\displaystyle{\displaystyle x^3 }$ :
$\displaystyle{\displaystyle \left( {\frac{{f(x)}} {x}} \right)^3 + \frac{{f(x)}} {{x^3 }} = 1 \Rightarrow ...\frac{{f(x)}} {x} = \sqrt[3]{{1 - \frac{{f(x)}} {x^3}}} }$
( είναι εύκολο να αποδείξουμε πως $\displaystyle{\displaystyle 1 > \frac{{f(x)}} {x} }$ ).
Αρα :

$\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}} {x} = \sqrt[3]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 - \frac{{f(x)}} {{x^3 }}} \right)}} = 1 }$

mathxl · #4

Να προσθέσω ένα υποερώτημα
Να υπολογίσετε τα όρια $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)}$ και να βρείτε το f(R)

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #5

Ωραιότατες λύσεις και σωστή η παρατήρησή σου Χρήστο ( για το Λυκειάρχη )
Άργησα να δω τις λύσεις σας γιατί έβλεπα και βλέπω τον Παναθηναικό .
Υ.Γ Δυστυχώς είναι 2 - 0 ...
Με τα extra ερωτήματα θα ασχοληθώ μετά το τέλος του αγώνα , αν αντέξω να τον δω μέχρι το τέλος ... Ας βοηθήσουν οι αγαπητοί συνάδελφοι ειδικά ο Πειραιώτης ...( υποθέτω Ολυμπιακός )
Η αναμετάδοση συνεχίζεται ... πέναλτυ και το χάσαμε ...

#6

Τι εννοείς Χρήστο , να βοηθήσω; Να γυρίσω τον Π.Α.Ο ;;; Δε θα το ήθελα με τίποτα! Μια χαρά μου φαίνεται το σκορ!

mathxl · #7

Καλημέρα
Επειδή το θέμα ξεχάστηκε ας δώσω μία λύση σε αυτό το υποερώτημα
$\displaystyle{\begin{array}{l} {f^3}\left( x \right) - {f^3}\left( {{x_0}} \right) + f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {x^3} - x_0^3 \Leftrightarrow \\ \left[ {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right]\left[ {\underbrace {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( {{x_0}} \right) + {f^2}\left( {{x_0}} \right) + 1}_ + } \right] = {x^3} - x_0^3 \Leftrightarrow \\ f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{x^3} - x_0^3}}{{{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( {{x_0}} \right) + {f^2}\left( {{x_0}} \right) + 1}} \\ \end{array}}$
Άρα
$\displaystyle{\left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| = \left| {\frac{{{x^3} - x_0^3}}{{{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right)f\left( {{x_0}} \right) + {f^2}\left( {{x_0}} \right) + 1}}} \right| \le \left| {{x^3} - x_0^3} \right|}$

Άρα
$\displaystyle{ - \left| {{x^3} - x_0^3} \right| \le f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) \le \left| {{x^3} - x_0^3} \right|}$
και
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)}$
Συνεπώς η f είναι συνεχής

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{f\left( x \right)}}{x} \cdot x} \right) = 1\left( { + \infty } \right) = + \infty}$

Για χ= - χ στην συναρτησιακή έχουμε
$\displaystyle{\begin{array}{l} {f^3}\left( { - x} \right) + f\left( { - x} \right) = - {x^3} = - {f^3}\left( x \right) - f\left( x \right) \Rightarrow \\ \left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]\left[ {\underbrace {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)f\left( { - x} \right) + {f^2}\left( { - x} \right) + 1}_ + } \right] = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow - f\left( x \right) = f\left( { - x} \right) \\ \end{array}}$
Η f περιττή

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)\mathop = \limits_{u \to + \infty }^{x = - u} \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } f\left( { - u} \right)\mathop = \limits^{\pi \varepsilon \rho .} - \mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } f\left( u \right) = - \infty}$

Έστω ότι υπάρχουν $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in R}$ ΄με $\displaystyle{{x_1} < {x_2}}$
ώστε $\displaystyle{\displaystyle{f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{f^3}\left( {{x_1}} \right) \ge {f^3}\left( {{x_2}} \right)} \\ {f\left( {{x_1}} \right) \ge f\left( {{x_2}} \right)} \\ \end{array}\mathop \Rightarrow \limits^ + x_1^3 \ge x_2^3 \Rightarrow {x_1} \ge {x_2}}}$ άτοπο άρα η f είναι γνησίως αύξουσα.
Οπότε f(R)=R

ΥΓ : Η εύρεση μονοτονίας, δεν είναι απαραίτηττη για την εύρεση του συνόλου τιμών στην συγκεκριμένη άσκηση
ΠΡΟΣΘΗΚΗ
Για όσους την θέλουν σε pdf

G.Tsikaloudakis · #8

Βλέπε : Άσκηση 18.22 σελ.409 'Συναρτήσεις-Ορια -Συνέχεια' Γ.Τσικαλουδάκη(Αθήνα 2005)

Εύρεση ορίου

Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Μέλη σε σύνδεση