2 ΑΠΟΡΙΕΣ

FERMA · #1

1)Μπορούμε να πούμε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση είναι πάντα μονότονη στα υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού της;
2)Αν έχουμε μία συναρτηση

που είναι γνησίως μονότονη με ποιά μέθοδο αποδεικνύουμε ότι η f^-1

έχει το ίδιο είδος μονοτονίας;

#2

1) 'Οχι. Είναι δυνατόν να αποδειχθεί (όχι με "σχολικό" τρόπο: η απόδειξη που έχω υπ΄όψιν μου χρησιμοποιεί το θεώρημα του Baire) υπάρχει συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ που δεν είναι γνησίως μονότονη σε κανένα υποδιάστημα του πεδίου ορισμού της.
2) Αν υποτεθεί ότι η

είναι γνησίως αύξουσα και πάρουμε $y_{1}<y_{2}$ από το σύνολο τιμών της δείχνουμε ότι $f^{-1}\left( y_{1}\right) <f^{-1}\left( y_{2}\right)$ ως εξής: Θα υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in D_{f}$ ώστε $f\left( x_{1}\right) =y_{1}$ , $f\left( x_{2}\right) =y_{2}$ . Είναι $f^{-1}\left( y_{1}\right) =x_{1}$ , $f^{-1}\left( y_{2}\right) =x_{2}$ και επομένως θέλουμε x_1<x_2

. Αυτό προκύπτει εύκολα αποκλείοντας τα ενδεχόμενα $x_{1}=x_{2}$ (οδηγεί στο $f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{2}\right)$ δηλαδή στο $y_{1}=y_{2}$ ) και το $x_{1}>x_{2}$ (οδηγεί στο $f\left( x_{1}\right) >f\left( x_{2}\right)$ δηλαδή στο $y_{1}>y_{2}$ ).
Μαυρογιάννης

sorfan · #3

FERMA έγραψε:1)Μπορούμε να πούμε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση είναι πάντα μονότονη στα υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού της;
2)Αν έχουμε μία συναρτηση που είναι γνησίως μονότονη με ποιά μέθοδο αποδεικνύουμε ότι η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας;

Για το 1ο δες και εδώ viewtopic.php?f=61&t=22882&p=115971#p115971

FERMA · #4

Σας ευχαριστώ πολύ!!

parmenides51 · #5

Για το 2ο η απόδειξη λίγο διαφορετικά γραμμένη εδώ

Υ.Γ. Στην παραπάνω παραπομπή βρίσκεται και η απόδειξη στην πρόταση πως σε γνησίως αύξουσα συνάρτηση, τα σημεία τομής της συνάρτησης και της αντίστροφης της ισοδυναμούν με τα σημεία τομής της συνάρτησης με την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων .

2 ΑΠΟΡΙΕΣ

2 ΑΠΟΡΙΕΣ

Re: 2 ΑΠΟΡΙΕΣ

Re: 2 ΑΠΟΡΙΕΣ

Re: 2 ΑΠΟΡΙΕΣ

Re: 2 ΑΠΟΡΙΕΣ

Μέλη σε σύνδεση