Σταθερό σημείο

#1

Έστω συνάρτηση $f\colon\{0,1,2,\ldots,100\}\to\{0,1,2,\ldots,100\}$ τέτοια ώστε $|f(x)-f(y)|\ge|x-y|$ για κάθε $x,y\in\{0,1,2,\ldots,100\} .$
Να δείξετε ότι έχει σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει

με

#2

socrates έγραψε:Έστω συνάρτηση $f\colon\{0,1,2,\ldots,100\}\to\{0,1,2,\ldots,100\}$ τέτοια ώστε $|f(x)-f(y)|\ge|x-y|$ (1) για κάθε $x,y\in\{0,1,2,\ldots,100\} .$
Να δείξετε ότι έχει σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει με

Αν

από την (1) παίρνουμε $0 \ge \left|x-y\right|\Rightarrow x=y$ .

Συνεπώς η

είναι 1-1, άρα και επί.

Η (1) για x=100, y=0

δίνει $\left|f(100)-f(0)\right| \ge 100 \Rightarrow \left|f(100)-f(0)\right|=100$

Συνεπώς ή $f(100)=100 \wedge f(0)=0$ ή $f(0)=100 \wedge f(100)=0$

Αν συμβαίνει το πρώτο τελειώσαμε. Αν συμβαίνει το δεύτερο τότε η (1) για x=0,y=50

δίνει

$\left|f(0)-f(50)\right| \ge 50 \Rightarrow 100-f(50) \ge 50$ (2) και η (1) για x=100,y=50

δίνει

$f(50) \ge 50$ (3)

Αν σε κάποια από τις (2) ή (3) δεν ισχύει το

, τότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε 100>100

, άτοπο.

Συνεπώς f(50)=50

και τελειώσαμε.

#3

Από εδώ:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=476941

Σταθερό σημείο

Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση