Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

#1

Μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση

με

έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f^2(x)+f(f(x))=x^2-x+1 }$ για κάθε

στο $\mathbb R$ .
Μπορούμε να υπολογίσουμε άραγε το f(0)

;

Αν παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση f(x)=1-x

έχει αυτή την ιδιότητα, λογικά η απάντηση θα είναι : f(0)=1

.

Μπάμπης

pito · #2

Επαναφορά!

pap65 · #3

$\displaystyle{{{f}^{2}}(x)+f(f(x))={{x}^{2}}-x+1\text{ (1)}}$

Έστω f(0)=k

Τότε από την (1) για x=0

έχουμε
$\displaystyle{{{f}^{2}}(0)+f(f(0))=1\text{ }}$
Άρα
$\displaystyle{{{k}^{2}}+f(k)=1\text{ }\Leftrightarrow f(k)=1-{{k}^{2}}}$
Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε

$\displaystyle{\begin{align} & {{f}^{2}}(k)+f(f(k))={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow \\ & \\ \end{align}}$
$\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+f\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow}$
$\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+1-{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{{k}^{2}}-k=0\Leftrightarrow}$
$\displaystyle{k=0\text{ }}$
ή
$\displaystyle{\text{ k=1}}$
Όμως το f(0)=0

από την (1) απορρίπτεται άρα f(0)=1

gian7 · #4

pap65 έγραψε: $\displaystyle{{{f}^{2}}(x)+f(f(x))={{x}^{2}}-x+1\text{ (1)}}$
Έστω
Τότε από την (1) για έχουμε $\displaystyle{{{f}^{2}}(0)+f(f(0))=1\text{ }}$
Άρα $\displaystyle{{{k}^{2}}+f(k)=1\text{ }\Leftrightarrow f(k)=1-{{k}^{2}}}$
Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε
$\displaystyle{\begin{align} & {{f}^{2}}(k)+f(f(k))={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow \\ & \\ \end{align}}$
$\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+f\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{{\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)}^{2}}+1-\left( \text{1-}{{\text{k}}^{2}} \right)={{k}^{2}}-k+1\text{ }\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{{k}^{2}}-k=0\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{k=0\text{ }}$ ή $\displaystyle{\text{ k=1}}$
Όμως το από την (1) απορρίπτεται άρα

Νομίζω υπάρχει λάθος. Για να βρεις το $\displaystyle{f(1-k^2)}$ υπέθεσες πως $\displaystyle{k=1-k^2}$ .

abgd · #5

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f^2(x)+f(f(x))=x^2-x+1 }$ για κάθε στο $\mathbb R$ .
Μπορούμε να υπολογίσουμε άραγε το ;

Αν παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση έχει αυτή την ιδιότητα, λογικά η απάντηση θα είναι : .

Μπάμπης

Για $\displaystyle x=2$ ... $\displaystyle f(-1)=2$ και εφόσον $\displaystyle f(2)=-1$ η συνάρτηση θα πρέπει να είναι γνησίως φθίνουσα.

Από το Bolzano υπάρχουν $\displaystyle x_0,x_1 \in(-1,2), \ \ \ x_0<x_1$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(x_0)=1,\ \ f(x_1)=0$

Για $\displaystyle x=x_0$ ... $\displaystyle f(1)=x_0^2-x_0$

Για $\displaystyle x=x_1$ ... $\displaystyle f(0)=x_1^2-x_1+1$

$\displaystyle x_0>1\Rightarrow f(x_0)<f(1)\Rightarrow 1<x_0^2-x_0 \Rightarrow x_0>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x_1>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
οπότε
$\displaystyle x_1^2-x_1+1>2 \Rightarrow f(0)>f(-1)$ άτοπο.

Συνεπώς $\displaystyle x_0\leq 1$

Είναι
$\displaystyle 0\leq x_0 \leq 1 \Leftrightarrow x_0^2-x_0 \leq 0<x_1^2-x_1+1 \Leftrightarrow f(1) \leq f(x_1)< f(0)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_1\leq1\Leftrightarrow x_1^2-x_1+1 \leq1 \Leftrightarrow f(0)\leq f(x_0)\Leftrightarrow x_0 \leq 0$

Άρα $\displaystyle x_0=0$ και έτσι $\displaystyle f(0)=1, \ \ f(1)=0$

#6

abgd έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f^2(x)+f(f(x))=x^2-x+1 }$ για κάθε στο $\mathbb R$ .
Μπορούμε να υπολογίσουμε άραγε το ;

Αν παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση έχει αυτή την ιδιότητα, λογικά η απάντηση θα είναι : .

Μπάμπης
Για $\displaystyle x=2$ ... $\displaystyle f(-1)=2$ και εφόσον $\displaystyle f(2)=-1$ η συνάρτηση θα πρέπει να είναι γνησίως φθίνουσα.

Από το Bolzano υπάρχουν $\displaystyle x_0,x_1 \in(-1,2), \ \ \ x_0<x_1$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(x_0)=1,\ \ f(x_1)=0$

Για $\displaystyle x=x_0$ ... $\displaystyle f(1)=x_0^2-x_0$

Για $\displaystyle x=x_1$ ... $\displaystyle f(0)=x_1^2-x_1+1$

$\displaystyle x_0>1\Rightarrow f(x_0)<f(1)\Rightarrow 1<x_0^2-x_0 \Rightarrow x_0>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x_1>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
οπότε
$\displaystyle x_1^2-x_1+1>2 \Rightarrow f(0)>f(-1)$ άτοπο.

Συνεπώς $\displaystyle x_0\leq 1$

Είναι
$\displaystyle 0\leq x_0 \leq 1 \Leftrightarrow x_0^2-x_0 \leq 0<x_1^2-x_1+1 \Leftrightarrow f(1) \leq f(x_1)< f(0)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_1\leq1\Leftrightarrow x_1^2-x_1+1 \leq1 \Leftrightarrow f(0)\leq f(x_0)\Leftrightarrow x_0 \leq 0$

Άρα $\displaystyle x_0=0$ και έτσι $\displaystyle f(0)=1, \ \ f(1)=0$

Ωραίος

Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή ;

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή ;

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή ;

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

Re: Μπορεί να βρεθεί η τιμή αυτή;

Μέλη σε σύνδεση