...είναι περιττή!

#1

Η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ είναι τέτοια ώστε f(xf(y))=yf(x) ,

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι είναι περιττή.

Grigoris K. · #2

Μία προσπάθεια με επιφύλαξη και σ' αυτήν:

Θέτω $y \rightarrow x$ και λαμβάνω $\displaystyle{ f(xf(x)) =xf(x) }$

Θέτω στην προηγούμενη $\displaystyle{ xf(x) \rightarrow y }$ και λαμβάνω $\displaystyle{ f(y) = y }$

Ισχύει $\displaystyle{ f(-y) = - y = - f(y) }$

Επίσης δίνεται ότι $D_f \equiv \mathbb R$ άρα $\forall y \in D_f \Rightarrow - y \in D_f$

Συνεπώς η

είναι περιττή.

#3

Γρηγόρη προσοχή:

Η αντικατάσταση $xf(x)\rightarrow y$ δε σου εξασφαλίζει απαραίτητα ότι το

λαμβάνει όλες τις πραγματικές τιμές...

dimitris.ligonis · #4

Λάθος λύση.

#5

dimitris.ligonis έγραψε: ...
άρα αν $f(1)=0 \Rightarrow f(f(y))=0$
αν $f(1)=1 \Rightarrow f(f(y))=y \Rightarrow f:$ περιττή

Δημήτρη, πως προκύπτει απο τα παραπάνω ότι

περιττή; Δηλαδή f(-x)=-f(x),

για κάθε

#6

socrates έγραψε:Η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ είναι τέτοια ώστε (1) για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι είναι περιττή.

Θανάση μου άρεσε.

Η (1) για $\displaystyle{x=1}$ δίνει $\displaystyle{f(f(y))=f(1)y}$ ( $\star$ )

Αν $\displaystyle{f(1)=0}$ , τότε $\displaystyle{f(f(y))=0,\ \forall y \in \Bbb{R}}$ (2)

Η (1) για $\displaystyle{y=f(y)}$ γίνεται $\displaystyle{f(xf(f(y)))=f(y)f(x) \Rightarrow f(0)=f(y)f(x)}$ (3) για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}}$

Η (3) για $\displaystyle{y=1}$ δίνει $\displaystyle{f(0)=0}$ , άρα η (3) γίνεται $\displaystyle{f(y)f(x)=0}$ (4) για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}}$

Η (4) για $\displaystyle{y=x}$ δίνει $\displaystyle{(f(x))^2=0 \Rightarrow f(x)=0}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ .

Άρα σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση είναι προφανώς περιττή.

Έστω $\displaystyle{f(1) \neq 0}$ , τότε η (1) για $\displaystyle{x=y=1}$ δίνει $\displaystyle{f(f(1))=f(1)}$ .

Πάλι η (1) για $\displaystyle{y=f(y)}$ δίνει $\displaystyle{f(xf(f(y)))=f(y)f(x)}$ (5) για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}}$

Η (5) για $\displaystyle{x=y=1}$ δίνει $\displaystyle{f(f(f(1)))=f^2(1) \Rightarrow f(f(1))=f^2(1) \Rightarrow f(1)=1}$

οπότε η ( $\star$ ) γίνεται $\displaystyle{f(f(x))=x}$ (6) για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ .

Από την (6) εύκολα συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι 1-1

Η (1) για $\displaystyle{y=f(y)}$ γίνεται $\displaystyle{f(xy)=f(x)f(y)}$ (7), για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}}$

Η (7) για $\displaystyle{x=y=-1}$ δίνει $\displaystyle{f^2(-1)=1 \Rightarrow f(-1)=\pm1}$

Λόγω του 1-1 η περίπτωση $\displaystyle{f(-1)=1}$ απορρίπτεται, άρα $\displaystyle{f(-1)=-1}$ οπότε η (7) για $\displaystyle{y=-1}$ γράφεται

$\displaystyle{f(-x)=-f(x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ και τελειώσαμε.

#7

socrates έγραψε:Η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ είναι τέτοια ώστε (1) για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι είναι περιττή.

λίγο διαφορετικά από το Σπύρο
--------------------------------------
$x=y=0:(1)\Rightarrow f(0)=0$

$y=1:(1)\Rightarrow f(xf(1))=f(x),~~(2)$

$x=1:(1)\Rightarrow f(f(y))=yf(1),~~(3)\Longrightarrow f(f(1))=f(1),~~(4)$

Αν $f(1)=0~~(2)\Longrightarrow f(x)=0,x\in \mathbb R$

Αν $f(1)=a\neq 0~~ (3)\Longrightarrow f(f(y))=ay,\forall y\in \mathbb R$ , f: 1-1,

επί άρα

$(4)\Rightarrow f(1)=a=1\Longrightarrow f(f(y))=y,y\in \mathbb R$

s.kap έγραψε: Η (1) για $\displaystyle{y=f(y)}$ γίνεται $\displaystyle{f(xy)=f(x)f(y)}$ (7), για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}}$

Η (7) για $\displaystyle{x=y=-1}$ δίνει $\displaystyle{f^2(-1)=1 \Rightarrow f(-1)=\pm1}$

Λόγω του 1-1 η περίπτωση $\displaystyle{f(-1)=1}$ απορρίπτεται, άρα $\displaystyle{f(-1)=-1}$ οπότε η (7) για $\displaystyle{y=-1}$ γράφεται

$\displaystyle{f(-x)=-f(x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ και τελειώσαμε.

...είναι περιττή!

...είναι περιττή!

Re: ...είναι περιττή!

Re: ...είναι περιττή!

Re: ...είναι περιττή!

Re: ...είναι περιττή!

Re: ...είναι περιττή!

Re: ...είναι περιττή!

Μέλη σε σύνδεση