Συναρτησιακή στο R^*

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^*\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε xf(xy)+f(-y)=xf(x),

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^*.$

nikoszan · #2

..... $xf\left( {xy} \right) + f\left( { - y} \right) = xf\left( x \right):\left( 1 \right)$ .Απο την $\left( 1 \right)$ για y = 1

εχουμε $f\left( { - 1} \right) = 0$ .
Aπο την $\left( 1 \right)$ για x = 1

έχουμε $f\left( y \right) + f\left( { - y} \right) = f\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( { - y} \right) = f\left( 1 \right) - f\left( y \right):\left( 2 \right)$ .
Aπο τις $\left( 1 \right)$ και $\left( 2 \right)$ έχουμε $xf\left( {xy} \right) + f\left( 1 \right) - f\left( y \right) = xf\left( x \right) \Rightarrow xf\left( {xy} \right) + f\left( 1 \right) = xf\left( x \right) + f\left( y \right):\left( 3 \right)$
Απο την $\left( 3 \right)$ για $x = \frac{1}{y}$ εχουμε $\frac{1}{y}f\left( 1 \right) + f\left( 1 \right) = \frac{1}{y}f\left( {\frac{1}{y}} \right) + f\left( y \right) \Rightarrow f\left( {\frac{1}{y}} \right) + yf\left( y \right) = f\left( 1 \right) + yf\left( 1 \right):\left( a \right)$
Απο την $\left( 1 \right)$ για $y = - \frac{1}{x}$ έχουμε $xf\left( { - 1} \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = xf\left( x \right) \Rightarrow x.0 + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = xf\left( x \right) \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) = xf\left( x \right):\left( b \right)$
Απο $\left( a \right)$ και $\left( b \right)$ προκύπτει οτι $yf\left( y \right) + yf\left( y \right) = f\left( 1 \right) + yf\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( y \right) = \frac{{\left( {y + 1} \right)f\left( 1 \right)}}{{2y}} = k + \frac{k}{y},$ όπου $k = \frac{{f\left( 1 \right)}}{2}$ .
(εύκολα διαπιστώνουμε οτι ικανοποιεί την δοθείσα συνθηκη).
Αρα ειναι $f\left( x \right) = k + \frac{k}{x},x \ne 0,$ όπου

οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Ν.Ζ.

Συναρτησιακή στο R^*

Συναρτησιακή στο R^*

Re: Συναρτησιακή στο R^*

Μέλη σε σύνδεση