Συναρτησιακή για εξάσκηση

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)+f(xy)=f(x^{2})+f(y^{2}) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)+f(xy)=f(x^{2})+f(y^{2}) ,$ (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Η (1) για $\displaystyle{y=0}$ δίνει $\displaystyle{f(x)=f(x^2),\ \forall x \in \Bbb{R}}$ (2)

Η (1) για $\displaystyle{x=-x}$ και $\displaystyle{y=-y}$ δίνει $\displaystyle{f(-x-y)+f(xy)=f(x^2)+f(y^2)=f(x+y)+f(xy) \Rightarrow f(-x-y)=f(x+y)}$

,άρα η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια.

Η (1) για $\displaystyle{y=-x}$ δίνει $\displaystyle{f(0)+f(-x^2)=f(x^2)+f(x^2) \Rightarrow f(0)+f(x^2)=2f(x^2)}$ και λόγω της (2)

$\displaystyle{f(x)=f(0)=a,\ \forall x \in \Bbb{R}}$ , που επαληθεύει την αρχική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=97471

Συναρτησιακή για εξάσκηση

Συναρτησιακή για εξάσκηση

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση

Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση

Μέλη σε σύνδεση