Εξάσκηση !

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f (x+y )\ =\ f (x ) e^{f(y)\ -\ 1 } ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f (x+y )\ =\ f (x ) e^{f(y)\ -\ 1 } ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για $\displaystyle{x=y=0}$ έχουμε

$\displaystyle{f(0)=f(0)e^{f(0)-1}}$ , άρα $\displaystyle{f(0)=1}$ ή $\displaystyle{f(0)=0.}$

Αν $\displaystyle{f(0)=0}$ για $\displaystyle{x=0}$ προκύπτει

$\displaystyle{f(y)=0,}$

από όπου έχουμε $\displaystyle{f(x)=0,~ \forall x,}$

Αν $\displaystyle{f(0)=1}$ για $\displaystyle{x=0}$ προκύπτει

$\displaystyle{f(y)=e^{f(y)-1},}$

από όπου έχουμε $\displaystyle{f(x)=1,~ \forall x,}$

λόγω της γνωστής ανισότητας $\displaystyle{e^{x-1}\geq x}$ με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x=1.}$

Οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=1,~ \forall x, f(x)=0,~\forall x}$ προφανώς ικανοποιούν την αρχική, άρα είναι οι ζητούμενες.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=239610

Εξάσκηση !

Εξάσκηση !

Re: Εξάσκηση !

Re: Εξάσκηση !

Μέλη σε σύνδεση