Βρείτε την g..

#1

... $g:\Bbb{R}\to \Bbb{R},$ αν g(xy+2x+g(x))=yg(x) ,

για κάθε $x,y\in\Bbb{R}.$

#2

Θέτουμε στην αρχική $\displaystyle{x=y=0}$ , οπότε $\displaystyle{g(g(0))=g(0)}$

Θέτουμε πάλι στην αρχική, y=2

, οπότε: $\displaystyle{g(4x+g(x))=2g(x)}$ . Σε αυτήν για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε:

$\displaystyle{g(g(0))=2g(0)\Rightarrow g(0)=2g(0)\Rightarrow g(0)=0}$

Στην αρχική, θέτουμε x=1

, οπότε: $\displaystyle{g(y+2+g(1))=yg(1)}$ . Kαι σε αυτήν , θέτουμε όπου

, το $\displaystyle{x-2-g(1)}$ και έχουμε:

$\displaystyle{g(x)=(x-2-g(1))g(1)}$ . Σε αυτήν , θέτουμε όπου

, το μηδέν και έχουμε: $\displaystyle{g(0)=(-2-g(1))g(1)}$

Άρα $\displaystyle{0=(-2-g(1))g(1)\Rightarrow g(1)=0}$ , ή, $\displaystyle{g(1)=-2}$ .

Αν $\displaystyle{g(1)=0}$ , τότε $\displaystyle{g(x)=0}$ , (η οποία επαληθεύει την δοσμένη σχέση)

Αν $\displaystyle{g(1)=-2}$ , τότε $\displaystyle{g(x)=-2x}$ , (η οποία επίσης επαληθεύει την δοσμένη)

Βρείτε την g..

Βρείτε την g..

Re: Βρείτε την g..

Μέλη σε σύνδεση