Μάλλον όχι...

#1

Υπάρχει επί συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ ώστε f(f(x))=(f(x)+1)(x+1),

για κάθε

#2

Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Για x=0

, παίρνουμε f(f(0))=f(0)+1

, ΣΧΕΣΗ 1

Για x=-1

, παίρνουμε f(f(-1))=0

, ΣΧΕΣΗ 2

Για x=f(-1)

, παίρνουμε $f(f(f(-1)))=(f(f(-1))+1)(f(-1)+1)\Rightarrow f(0)=f(-1)+1$ , ΣΧΕΣΗ 3

Αφού η

είναι επί, θα υπάρχει $x_0 \epsilon R$ , ώστε να είναι f(x_0)=-1

.

Θέτοντας λοιπόν στην δοσμένη σχέση όπου

, το

, ;έχουμε:

$f(f(x_0))=(f(x_0)+1)(x_0 +1)\Rightarrow f(-1)=0\Rightarrow f(f(-1))=f(0)\Rightarrow 0=f(0)$ , (λόγω της 2)

Τώρα από την ΣΧΕΣΗ 3, έχουμε $0=f(-1)+1\Rightarrow f(-1)=-1$ , ΣΧΕΣΗ 4

Από την ΣΧΕΣΗ 2 τώρα, παίρνουμε f(-1)=0

, η οποία έρχεται σε αντίφαση με την ΣΧΕΣΗ 4

Συνεπώς τέτοια συνάρτηση, δεν υπάρχει.

Μάλλον όχι...

Μάλλον όχι...

Re: Μάλλον όχι...

Μέλη σε σύνδεση