Σύνολο τιμών

S.E.Louridas · #1

Προσδιορίστε τον πραγματικό αριθμό

, ώστε η συνάρτηση με τύπο
$\displaystale{f\left( x \right) = \frac{{x^2 - l}} {{x^2 - 4x + 1 - l}}$
να έχει σύνολο τιμών το ${\Cal R}}$ .

pito · #2

Με πολλές επιφυλάξεις και επειδή από τα λάθη μας μαθαίνουμε , μια ιδέα:

Για να ορίζεται η

θα πρέπει να είναι $x^{2}-4x+1-l\neq 0$
άρα ή $\Delta <0\Leftrightarrow l>-3$ και $A_{f}=R$
ή l<-3

και $A_{f}=R-\{2-\sqrt{3+l},2+\sqrt{3+l}\}$
Aν l=-3

, $A_{f}=R-\{2\}$

Για f(x)=y

είναι $y=\frac{x^{2}-l}{x^{2}-4x+1-l}\Leftrightarrow (y-1)x^{2}-4xy+y-yl+l=0 (1)$

Αν y=1

, τότε προκύπτει $x=\frac{1}{4}$ , δηλαδή $f(\frac{1}{4})=1$ και το

ανήκει στο ζητούμενο σύνολο τιμών.

Αν τώρα $y\neq 1$ ,θα πρέπει να υπάρχουν τιμές του

που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της

ώστε να ισχύει η (1) άρα θα πρέπει για την (1) να είναι
$\Delta \geq 0\Leftrightarrow (12+4l)y^{2}+(4-8l)y+4l\geq 0$ (2)

Για να έχει η

σύνολο τιμών το

θα πρέπει η (2) να ισχύει για όλα τα πραγματικά

δηλαδή να ισχύει

$12+4l>0\Leftrightarrow l>-3 (3)$ και
$\Delta \leq 0\Leftrightarrow (4-8l)^{2}-16l(12+4l)\leq 0\Leftrightarrow ...l\geq\frac{1}{16}$ (4)

Με συναλήθευση των (3), (4) προκύπτει ότι πρέπει $l\geq\frac{1}{16}$

EDIΤ: Θα την ξανακοιτάξω έπειτα από προτροπή του κυρίου Λουρίδα.

Α.Κυριακόπουλος · #3

pito έγραψε:Με πολλές επιφυλάξεις και επειδή από τα λάθη μας μαθαίνουμε , μια ιδέα:
Για να ορίζεται η θα πρέπει να είναι $x^{2}-4x+1-l\neq 0$
άρα ή $\Delta <0\Leftrightarrow l>-3$ και $A_{f}=R$
ή $l\leq -3$ και $A_{f}=R-\{2-\sqrt{3+l},2+\sqrt{3+l}\}$

Για είναι $y=\frac{x^{2}-l}{x^{2}-4x+1-l}\Leftrightarrow (y-1)x^{2}-4xy+y-yl+l=0 (1)$

Αν , τότε προκύπτει $x=\frac{1}{4}$ , δηλαδή $f(\frac{1}{4})=1$ και το ανήκει στο ζητούμενο σύνολο τιμών.

Αν τώρα $y\neq 1$ ,θα πρέπει να υπάρχουν τιμές του που να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της ώστε να ισχύει η (1) άρα θα πρέπει για την (1) να είναι
$\Delta \geq 0\Leftrightarrow (12+4l)y^{2}+(4-8l)y+4l\geq 0$ (2)

Για να έχει η σύνολο τιμών το θα πρέπει η (2) να ισχύει για όλα τα πραγματικά δηλαδή να ισχύει

$12+4l>0\Leftrightarrow l>-3 (3)$ και
$\Delta \leq 0\Leftrightarrow (4-8l)^{2}-16l(12+4l)\leq 0\Leftrightarrow ...l\geq 16$ (4)

Με συναλήθευση των (3), (4) προκύπτει ότι πρέπει $l\geq 16$

Μυρτώ, θα μου επιτρέψεις να επισημάνω τα εξής:

1) Η δεύτερη ισοδυναμία που γράφεις ισχύει πάντοτε;
2) Ζητάμε να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο, συγκεκριμένα τον πραγματικό αριθμό

. Αφού εργάζεσαι με συνεπαγωγές (πρέπει), θα πρέπει να εξετάσεις και το αντίστροφο.
3) Είναι βέβαιο ότι η εξίσωση (1) είναι δεύτερου βαθμού και σχηματίζεις την διακρίνουσα ( αν y=1

);
Φιλικά.

#4

Οι περιορισμοί για την παράμετρο

μπορεί να προκύψουν και με την εξής σκέψη. Αφού θέλουμε για την $f\left( x \right)$ το ${R_f}$ να είναι το

πρέπει να παίρνει και την τιμή μηδέν, που αυτό γίνεται αν ${x^2} - l = 0$ και ${x^2} - 4x + 1 - l \ne 0$ . Πρέπει λοιπόν $l \ge 0$ . Στην περίπτωση που l > 0

είναι $x = \sqrt l$ και $l - 4\sqrt l + 1 - l \ne 0 \Leftrightarrow l \ne \frac{1}{{16}}$ (για $x = - \sqrt l$ δεν βγαίνει κάποιος περιορισμός για το

). Οπότε
$\begin{array}{l} {R_f} = \left\{ {y \in R:\exists x \in R,{x^2} - 4x + 1 - l \ne 0\ {\rm{ \kappa \alpha \iota }}\ y = \frac{{{x^2} - l}}{{{x^2} - 4x + 1 - l}}} \right\} =\\ = \left\{ {y \in R:\exists x \in R,{x^2} - 4x + 1 - l \ne 0\ {\rm{ \kappa \alpha \iota }}\ y\left( {{x^2} - 4x + 1 - l} \right) = {x^2} - l{\rm{ ~ \color{red}(1)}}} \right\} = \\ \left\{ {y \in R:\exists x \in R,{x^2} - 4x + 1 - l \ne 0\ {\rm{ \kappa \alpha \iota }} \left( {y - 1} \right){x^2} - 4yx + \left( {1 - l} \right)y + l = 0{\rm{ }}~ \color{red}(2)} \right\} \end{array}$
Όμως αν υπάρχει $x \in R$ που να επαληθεύει την (2) τότε υποχρεωτικά θα έχουμε ${x^2} - 4x + 1 - l \ne 0$ διότι διαφορετικά από την (1) θα ήταν και ${x^2} - l = 0$ δηλαδή αριθμητής και παρονομαστής θα είχαν κοινή ρίζα πράγμα όμως που δεν συμβαίνει αφού $l \ne \frac{1}{{16}}$ (για $l = \frac{1}{{16}}$ η εξίσωση $f\left( x \right) = 1$ είναι αδύνατη στο πεδίο ορισμού ${A_f}$ δηλαδή το ${R_f}$ δεν είναι το

). Άρα από την (2) πρέπει και αρκεί $\Delta \ge 0$ δηλαδή $\left( {3 + l} \right){y^2} + \left( {1 - 2l} \right)y + l \ge 0$ .
Από την θεωρία του τριωνύμου θα πρέπει $\left\{ \begin{array}{l} 3 + l > 0\\ {\Delta _1} \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} l > - 3\\ {\left( {1 - 2l } \right)^2} - 4\left( {3 + l } \right)l \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} l > - 3\\ l \ge \frac{1}{{16}} \end{array} \right.$ δηλαδή $l \ge \frac{1}{{16}}$ . ΤΕΛΙΚΑ $\displaystyle{{\colorbox{orange}{\color{blue}\boxed{\displaystyle l>\frac{1}{16}}}$
Η περίπτωση l = 0

μπορεί να εξεταστεί ξεχωριστά , τότε όμως διαπιστώνουμε ότι το το ${R_f}$ δεν είναι το

(κοίτα σχήμα)

S.E.Louridas · #5

Ευχαριστώντας τον Α. Κυριακόπουλο την Μυρτώ (pito) και τον Σπύρο (spyros), " καταθέτω " την ημέτερη διαπραγμάτευση:

Θεωρούμε την εξίσωση ως προς
$x \in {\Cal R},\quad y\left( {x^2 - 4x + 1 + l} \right) = x^2 - l\; \Leftrightarrow \;\left( {y - 1} \right)x^2 - 4yx + \left( {1 - l} \right)y + l =$ $0\;\;\left( 1 \right)$ ,
για την οποία θα προσδιορίσουμε την παράμετρο $l \in {\Cal R}$ , ώστε αυτή η εξίσωση να έχει λύση για κάθε πραγματικό

, με $x^2 - 4x + 1 - l \ne 0.$
Για y=1

παίρνουμε $x = \frac{1}{4}$
με $\left( {\frac{1}{4}} \right)^2 - 4\left( {\frac{1}{4}} \right) + 1 - l \ne 0,$ όταν $l \ne \frac{1}{{16}}$ .
Για $y \ne 1$ , θεωρούμε την διακρίνουσα της σχέσης (1)

θετική ή μηδέν, οπότε παίρνουμε $4y^2 - \left( {y - 1} \right)\left[ {\left( {1 - l} \right)y + l} \right] \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {3 + l} \right)y^2 + \left( {1 - 2l} \right)y + l \geqslant 0\quad \left( 2 \right)$ για κάθε $y \ne 1$ , με την σχέση (2)

να ισχύει και για y=1

, οπότε θα πρέπει $3 + l > 0,\quad \left( {1 - 2l} \right)^2 - 4l\left( {3 + l} \right) \leqslant 0 \Rightarrow l \geqslant \frac{1} {{16}} \Rightarrow l > \frac{1} {{16}}$
Για $l > \frac{1}{{16}}$ η διακρίνουσα του τριωνύμου
$p\left( x \right) \equiv x^2 - 4x + 1 - l\;\;/{\Cal R}$ είναι $D = 4\left( {l + 3} \right) > 0$ , οπότε έχουμε σαν ρίζες της εξίσωσης $x_1 = 2 - \sqrt {3 + l} ,\;\;x_2 = 2 + \sqrt {3 + l}$ , άρα έχουμε $x \in {\Cal R} - \left\{ {2 - \sqrt {3 + l} ,\;2 + \sqrt {3 + l} } \right\}$ .
Παρατηρούμε (πράξεις) ότι $\left( {y - 1} \right)\left( {2 - \sqrt {3 + l} } \right)^2 - 4y\left( {2 - \sqrt {3 + l} } \right) + \left( {1 - l} \right)y + l \ne 0$ και
$\left( {y - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3 + l} } \right)^2 - 4y\left( {2 + \sqrt {3 + l} } \right) + \left( {1 - l} \right)y + l \ne 0$ , αν και μόνο αν $l > \frac{1} {{16}}$ .
Τελικά όταν έχουμε $l > \frac{1} {{16}}$ , ισχύει η σχέση $x^2 - 4x + 1 - l \ne 0$ που σημαίνει, ότι το σύνολο ορισμού της συνάρτησης μας είναι το σύνολο ${\Cal R} - \left\{ {2 - \sqrt {3 + l} ,\;2 - \sqrt {3 + l} } \right\}$ και το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών

.

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση