Υψηλή δύναμη

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) ,$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$

Garfield · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) ,$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$

για

παίρνουμε

για

παίρνουμε $f(x)=f(x^{2012})$ και από αυτήν βάζοντας όπου

το

παίρνουμε $\displaystyle{ f(x)=f(x^{2012})=f(-x) }$ δηλαδή η

είναι άρτια.

για y=-x

η σχέση της υπόθεσης μας δίνει $\displaystyle{ f(x^{2012}) =0 \quad \forall x \in \mathbb R }$

Από την τελευταία τώρα βάζοντας όπου

το $\displaystyle{ \sqrt[12]{ |x|}}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(|x|)=0 \quad \forall x \implies f(x) =0 \quad \forall x \in [0 , +\infty)}$

Επειδή όμως η

είναι άρτια έχουμε τελικά ότι: $\displaystyle{\boxed{ f(x)=0 \quad \forall x \in \mathbb R }}$ η οποία προφανώς επαληθεύει την αρχική.

#3

#4

Ας δούμε και το αδελφάκι του...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) ,$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^+.$

#5

socrates έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 11, 2022 2:23 am
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) ,$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^+.$

Έστω

. Παίρνω $y=x^{2012}-x$ και τότε $f((x^{2012}-x)^{2012})=0$ . Τώρα η πολυωνυμική συνάρτηση $g(x)=(x^{2012}-x)^{2012}$ παίρνει (λόγω συνέχειας) όλες τις τιμές στο $(0,\infty)$ , οπότε f(z)=0

για κάθε

στο $(0,\infty)$ .

#6

Υψηλή δύναμη

Υψηλή δύναμη

Re: Υψηλή δύναμη

Re: Υψηλή δύναμη

Re: Υψηλή δύναμη

Re: Υψηλή δύναμη

Re: Υψηλή δύναμη

Μέλη σε σύνδεση