Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

#1

Για τη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνωρίζουμε ότι

$|f(x) - f(y) | \leq |x-y| \ \forall x, y \ \in \mathbb{R}$ και f(f(f(0))) = 0.

Να δείξετε ότι $|f(x)| \leq |x| \ \forall x \ \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Για τη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνωρίζουμε ότι

$|f(x) - f(y) | \leq |x-y| \ \forall x, y \ \in \mathbb{R}$ και

Να δείξετε ότι $|f(x)| \leq |x| \ \forall x \ \in \mathbb{R}.$

Το παραπάνω αποτελεί άμεση συνέπεια από θέμα διαγωνισμού στη Μογγολία 2000.

Αρκεί να δείξουμε ότι f(0)=0

. Πράγματι, ισχύει

$\begin{aligned} |f(f(0))|&=|f(f(f(0)))-f(f(0))|\\ &\leq |f(f(0))-f(0)|\\ &\leq |f(0)|\quad (***)\\ &=|f(f(f(0)))-f(0)|\\\notag &\leq |f(f(0))|\notag \end{aligned}$

Συνεπώς, |f(f(0))|=|f(0)|

.

Αν

, τότε

.

Αν

, τότε από την (***), έπεται $|2f(0)|\leq |f(0)|$ , δηλ. f(0)=0

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Πού το θυμόσουν Αχιλλέα;

Υπάρχει εδώ http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/AoP ... onMO00.pdf.

Επίσης, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=350905

Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (1)

Μέλη σε σύνδεση